Ola Carissimo Prof Morgado e demais colegas desta lista ... OBM-L,
Este principio e devido a Erdos, que o usou pela primeira vez. No livro :
Proofs from the Book Martin Aigner e Gunter Ziegler Springer Verlag
os autores tambem o creditam a Alfred Renyi, mas eu nao conheco nenhuma artigo deste Matematico e, muito menos, claramente, alguma aplicacao especifica deste principio por ele. Evidentemente que o a regra e uma forma original de pensar, usando probabilidades num dominio onde dificilmente imaginariamos que ela pudesse ser util. Deve-se destacar que serve tao somente para provas de existencia.
O livro "Proofs from the book" mostra diversas aplicacoes deste metodo probabilistico e, em particular, aos numeros de Ramsey ( Alias, o Teorema de Ramsey e um dos resultados elementares que eu citaria, mas e um assunto nunca ou quase nunca abordado no Nivel Medio - injustificadamente, ao meu ver ).
Exemplo ( de Proofs from the book )
Seja Y um conjunto. Toda funcao f:Y -> {a,b} e chamada uma "pintura" dos pontos de Y. Se y esta em Y e f(y) =a dizemos que o ponto "y" foi pintado com a cor "a". Claramente que existem pinturas possiveis para Y.
Considere agora um conjunto F cujos elementos sao subconjuntos de Y, isto e, F e uma familia de subconjunto de Y. Nos dizemos que F e "BICOLORIZAVEL" ou "2-COLORIZAVEL" se dentre todas as pinturas de Y com duas cores ( as funcoes f mencionadas acima ) EXISTE UMA tal que em todo subconjunto de Y pertencente a F poderemos encontrar dois elementos pintados com cores diferentes.
1) Claramente que se F e 2-colorizavel entao todos os subconjunto de F sao 2-colorizavel : basta usar a mesma funcao f:Y->{a,b} que demonstrou a carater 2-colorizavel de F.
Agora, seria toda familia de subconjuntos de Y 2-colorizavel ? Claramente que Nao !
2) Com efeito, seja Y um conjunto com 2d+1 elementos. Toda pintura de f, f:Y->{a,b}, pode ser vista como uma distribuicao de 2 elementos ( "a" e "b" ) nos 2d+1 "lugares" que sao os pontos de Y e, portanto, pelo principio da casa dos pombos, haverao ao menos "d" pontos de Y com a mesma cor ! Assim, se tomarmos F como o CONJUNTO DE TODOS OS SUBCONJUNTOS de Y com d elementos, QUALQUER QUE SEJA a pintura f:Y -> {a,b} havera um subconjunto de Y com d elementos
( elemento de F ) com todos os seus pontos pintados da mesma cor ! Logo, F nao sera 2-colorizavel.
Os fatos 1) e 2) sao extremos. Eles tornam claro que para todo "d" existe um extremante ... Isto e, dado d, qualquer subconjunto de Y com d elementos e 2-colorizavel, evidentemente. Todos os subconjutos de Y com d elementos e uma familia que nao e 2-colorizavel, conforme vimos acma. Entao, para cada d, tem sentido perguntarmos : qual e O MENOR NUMERO DE SUBCONJUNTOS DE Y COM d ELEMENTOS que nao e 2-colorizavel ?
TEOREMA ( FENOMENO ) : Toda familia F de subconjuntos de Y com no maximo 2^(d-1) elementos e 2-colorizavel
Assim, o numero que estamos procurando, que por homenagem a Erdos chamaremos de E(d), e tal que E(d) > 2^(d-1)
DEMONSTRACAO ( EXPLICACAO ) : IMAGINE que todas as pinturas f:Y->{a,b} possiveis sao eventos igualmente provaveis ... Assim, a toda pintura que ocorrer, estaremos concomitantemente colorindo todos os elementos de cada subconjunto de F, evidentemente. Vamos agora escolher um elemento de F, isto e, um subconjunto de Y pertencente a F. Qual sera a probabilidade de os os seus elementos estejam pintados com uma unica cor ?
Claramente que P = (1/2)^(d-1), pois existem apenas duas maneiras dos elementos do subconjunto escolhido estarem pintados com uma mesma cor. Aplicando este mesmo raciocinio a todos os elementos da familia e notando que o evento de escolher um conjuntos 1-colorizavel nao e mutuamente exclusivo com as outras ocorrencias e, portanto, a probabilidade e inferior a mera soma das probabilidades, termos :
E(d)*((1/2)^(d-1)) =< 1 => E(d) =< 2^(d-1)
Logo, pelo principio de Erdos, existira uma pintura de Y sem sub-conjunto de F pintado com uma cor somente, que e o que queriamos demonstrar !
Essa e uma aplicacao trivial do Principio de Erdos. No livro "Proof from the Book" existe aplicacoes mais interessantes. Alias, este livro e altamente acessivel a qualquer estudante serio e dedicado do nivel medio, pedindo pouquissimos pre-requisitos "mais avancados" , todos de facil assimilacao e facilmente encontraveis.
E digno de nota que este principio e muito criticado por muitas pessoas, que nao aceitam um resultado derivado da sua utilizacao. Ele e o "Axioma da Escolha" do momento. Falta surgir o Godel do momento...
Digo isso porque em face das inumeras criticas que o axioma da escolha sofria, Godel mostrou que se a Teoria do conjuntos COM O AXIOMA DA ESCOLHA e inconsistente e contraditoria, ENTAO, a teoria dos conjuntos SEM O AXIOMA DA ESCOLHA, e igualmente inconsistente e contraditoria, isto e, o Axioma da Escolha, em que pese as inumeras consequencias pouco verossimeis que COM ELE podemos deduzir, se muito, e apenas um catalisador destas inverossimilhancas, nao a CAUSA UNICA delas ... E que cada um engula isso como puder !
Na Matematica, como em tudo, a Normalidade, quando nao e a expressao viva da mediocridade, e apenas uma face da patologia ... E sempre ha uma multidao de sacerdotes dispostos a defender os credos antigos e acusar os raciocinios "estranhos" e "diferentes" com as formas modernas da inquisicao, mesmo que a historia esteja diuturnamente demonstrando que o progresso jamais promana daquilo que e comum e batido, daquelas implicacoes logicas "limpinhas" e "bonitinhas".
Uma curva gaussiana das "normalidades" humanas, em qualquer ambiente, seja academico, social, desportivo e mesmo profissional, e sofrivel ... A pior desgraca que pode suceder a um ser humano, e ele ser normal !
Perdao por este OFF-DESABAFO final.
Um Abraco Cordial a Todos ! Paulo Santa Rita 1,2107,100803
From: "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sun, 10 Aug 2003 19:00:05 -0300
Desculpe a ignorancia, poderia detalhar mais a segunda escolha?
Paulo Santa Rita wrote:
Ola Claudio !
Muito legal essa sua enquete. Bom, so pode entrar resultados elementares e/ou de facil compreensao, certo ? Entao me ocorre de imediato alguns resultados.
PRIMEIRO ( trivial, mas mercece um quadro na parece. Devido a Bernoulli )
1^P + 2^P + 3^P + ... + (N-1)^P + N^P = [(N+B)^P - B^P]/(P+1) onde B^k deve ser interpretado como o K-esimo numero de bernoulli.
Alias, foi verificando as somas das potencias P-esimas dos numeros naturais que Bernoulli descobriu os fantasticos numeros que hoje levam o seu nome. Mais adiante, quando eu estiver mais tranquilo, vou escrever sobre este tema.
SEGUNDO ( Isso nao e um principio, e um Salmo do Profeta. Devido a Erdos )
"Se em um conjunto de objeto, um objeto tem uma probabilidade menor que 1 de ter uma determinada propriedade, entao existe um objeto do conjunto com aquela propriedade"
Esse principio, nao obstante muito contestado e criticado por alguns, e poderoso e acredito que abre novas e imensas possibilidades para o pensamente matematico.
TERCEIRO ( trivial, mas facilita a prova de muitas coisas. A desigualdade Eduardo Wagner )
Em todo triangulo, o semi-perimetro nunca e menor que a soma dos produtos de cada lado pelo cosseno do angulo oposto"
p >= a*cosA + b*cosB + c*cosC
Com a desigualdade acima da pra derivar quase todas as desigualdades complicadas da Geometria Elemntar.
Um Abraco Paulo Santa Rita 7,1425,090803
EM TEMPO. Sobre a beleza matematica :
A Divina Proporcao Um Ensaio sobre a beleza na Matematica H. E. Huntley Editora UnB
O autor mostra como o numero "fi", ( 1 + raiz_quadrada(5) )/2, aparece nas mais diversas circunstancias e inesperadas circunstancias, sempre com um toque de inegavel beleza. Eu acredito que este numero contribuem pelo menos com um resultado :
"A UNICA progressao geometrica de termos positivos que na qual An+1 = An + An-1 e a sequencia :
1, fi, fi^2, fi^3, fi^4, ..."
From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]> CC: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] ENQUETE - BELEZA MATEMATICA Date: Sat, 09 Aug 2003 10:24:26 -0300
Caros colegas da lista:
Gostaria de contar com sua participacao numa enquete sobre "beleza matematica".
O que eu precisao eh que cada um de voces me envie uma lista contendo algo
como 5 a 10 problemas/teoremas que voces consideram os mais bonitos e cujas
solucoes/demonstracoes sao as mais elegantes e/ou inusitadas e/ou
engenhosas. Nao precisa incluir a solucao/demonstracao, apenas o enunciado.
No entanto, se voce tiver em mente uma solucao/demonstracao especifica
(entre varias existentes) nao deixe de mencionar pelo menos o metodo
utilizado.
A unica restricao eh que estes resultados devem ser de um nivel acessivel a
um aluno normal de 2o. grau (ou seja, o Ultimo Teorema de Fermat e o Porisma
de Poncelet estao fora, mas o caso n = 4 do UTF e a versao para triangulos
do Porisma poderiam ser incluidos).
Importante: os resultados devem ser acessiveis a um aluno normal de 2o.
grau, mas nao necessariamente fazer parte do curriculo normal do 2o. grau.
Tambem nao precisa responder hoje ou amanha ou mesmo na semana que vem. Acho
que vale a pena pensar por um tempo e consultar a literatura - as vezes pode
ter um resultado belissimo do qual voce simplesmente se esqueceu por nao
encontra-lo ha muito tempo. As Eurekas sao uma otima referencia. O "Proofs
from the Book" tambem, apesar de nem tudo lah ter nivel de 2o. grau.
Se houver um numero suficiente de respostas, eu me comprometo a publicar uma
compilacao dos problemas e teoremas mais votados.
Desde jah a gradeco o interesse de quem quiser participar.
Um abraco, Claudio.
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