on 17.08.03 21:12, pichurin at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Mostre que se V � espa�o vetorial de dimens�o par,
> ent�o existe uma transforma��o linear T:V-->V tal que
> ker(T)=Im(T).Isso � poss�vel se a dimens�o de T for
> �mpar?
>
Seja {v_1, v_2, ..., v_2n } uma base de V.
Defina T:V --> V como:
T(v_1) = T(v_2) = ... = T(v_n) = 0
e para k > n:
T(v_k) = v_(k-n)
Assim, ker(T) = Im(T) = span(v_1,v_2,...,v_n).
***
Para n impar isso nao eh possivel pelo teorema da imagem e do nucleo, que
diz que dim(ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(V).
Suponha que dim(V) = 2m + 1 e que ker(T) = Im(T).
Entao, dim(Ker(T)) = dim(Im(T)) ==> 2*dim(ker(T)) = 2m + 1 ==> par = impar
==> contradicao.
Um abraco,
Claudio.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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