Marcelo Rufino
From: Thais Spiegel <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: [obm-l] demonstração Date: Sat, 15 Nov 2003 11:32:29 -0600
Marcelo, quanto ao segundo passo, estou achando que p - a = [2(r1.r)^1/2].r/[r - r1] ... não sei no que posso estar errando.
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Re: [obm-l] demonstração Esta questão é simplesmente maravilhosa, mas sua solução é muito grande, muito grande mesmo. Vou fazer um resumo da solução, tente demonstrar tudo que eu deixar indicado.
1) Prove, utilizando Pitágoras, que as distâncias entre os pontos de
contatos das circunferências menores e do incírculo de ABC, sobre cada um
dos lados do triângulo, são iguais a 2(r1.r)^1/2, 2(r2.r)^1/2 e 2(r3.r)^1/2.
2) Prove, utilizando semelhança de triângulos e os valores calculados em 1),
que as distâncias dos pontos de contato do incírculo de ABC aos vértices de
ABC, sobre cado lado, são iguais a:
p - a = [2(r1.r)^1/2]/[r - r1], p - b = [2(r2.r)^1/2]/[r - r2] e p - c =
[2(r3.r)^1/2]/[r - r3]
3) Observe que o semi-perímetro de ABC é igual a soma dos valores de 2);
4) Utilize a expressão da área de ABC por Hieron da forma p^2r^2 = p(p -
a)(p - b)(p - c) para determinar uma equação de segundo grau (gigantesca!!!)
em r.
Uma das soluções é r = (r1.r2)^1/2 + (r2.r3)^1/2 + (r3.r1)^1/2
Espero ter ajudado. Como disse anteriormente, a solução completa desta
questão é imensa. Como curiosidade, esta questão (com valores numéricos para
r1, r2 e r3) está na shortlist da IMO de 1984. Você pode conferir em
http://www.kalva.demon.co.uk/short/sh84.html, questão 18.
Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira
>From: thais <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: obm-l <[EMAIL PROTECTED]>
>Subject: [obm-l] demonstração
>Date: Fri, 14 Nov 2003 16:32:25 -0600
>
>Não consigo resolver essa questão, se alguem puder me ajudar ...
>
>- Em um triângulo ABC, inscreve-se um círculo cujo raio é r. Entre esse
>círculo e os lados do triângulo, inscrevem-se três outros círculos cujos
>raios são r1, r2 e r3. Demonstrar a relação: (r1.r2)^1/2 + (r2.r3)^1/2
> + (r3.r1)^1/2 = r
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