Oi, Frederico: Jah que ninguem mais respondeu, aqui vai...
> (1) Mostre que tg(x) + cotg (x) >= 2 Supondo que x (mod 2Pi) esteja em (0,Pi/2) U (Pi,3Pi/2), o resultado eh consequencia de que (tg(x) - 1)^2 >= 0. > > (2) Encontre o maior n�mero real w tal que wabc <= (abc)^2 + ab > + ac + bc , para todo a,b,c >0 . > O problema equivale a achar o valor minimo de: F(a,b,c) = abc + 1/a + 1/b + 1/c, com a,b,c > 0. Esse deu um certo trabalho, mas consegui descobrir uma solucao sem usar calculo. Media Geometrica >= Media Harmonica ==> (abc)^(1/3) >= 3/(1/a + 1/b + 1/c) ==> abc >= 27/(1/a + 1/b + 1/c)^3 ==> F(a,b,c) >= 27/(1/a +1/b + 1/c)^3 + (1/a + 1/b + 1/c), com igualdade <==> a = b = c, ou seja: F(a,b,c) eh minimo quando a = b = c Mas, fazendo x = 1/a + 1/b + 1/c, teremos: F(a,b,c) >= 27/x^3 + x = 4*[27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3]/4 Media Aritmetica >= Media Geometrica ==> [27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3]/4 >= [(27/x^3)*(x/3)*(x/3)*(x/3)]^(1/4) = 1 ==> 27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3 = 27/x^3 + x >= 4, com igualdade <==> 27/x^3 = x/3 <==> x = 3 <==> 1/a + 1/b + 1/c = 3, ou seja: F(a,b,c) eh minimo quando 1/a + 1/b + 1/c = 3. Assim, o valor minimo de F(a,b,c) eh atingido quando: a = b = c e 1/a + 1/b + 1/c = 3 <==> a = b = c = 1 e nesse caso F(a,b,c) = 4 Conclusao: o maior w eh igual a 4. > (3) V ou F: O produto da soma de nos reais positivos pela soma de seus > inversos � >= ao quadrado da quantidade de n�meros. V - consequencia da desigualdade entre a media harmonica e a media geometrica de numeros positivos. Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
