On Thu, Aug 28, 2003 at 07:19:16AM -0300, Frederico Reis Marques de Brito wrote: > OL� pessoal. > > Confesso que nunca tive interesse por geometria espacial. Mas outro dia > parei a perguntar-me se, similarmente ao que ocorre na geom. plana, h� > alguma f�rmula para o angulo interno formado pelas faces de um poliedro > regular e, neste caso, uma fonte para a demonstracao.
Estudar os �ngulos entre faces de um poliedro � algo bem mais sutil de que os �ngulos entre lados de um pol�gono. Voc� pode calcular os �ngulos entre as faces dos poliedros regulares mas n�o s�o m�ltiplos racionais de pi, s�o arcos cujo seno ou cosseno � um n�mero alg�brico de grau baixo. Um resultado f�cil � o seguinte. Considere um poliedro convexo. A partir de cada v�rtice e para cada face adjacente ao v�rtice, trace uma semireta exterior ao s�lido e perpendicular � face. Temos assim um �ngulo s�lido em cada v�rtice: chamemos este �ngulo s�lido de externo. A soma dos �ngulos s�lidos externos � 4pi. Uma vers�o deste teorema que esteve no banco da IMO1981 (mas n�o na prova) � o seguinte problema. Em uma regi�o do espa�o h� n planetas esf�ricos de mesmo raio. Prove que a �rea total em todos os planetas a partir da qual n�o se v� nenhum dos outros planetas no c�u � igual � �rea de um dos planetas. Isto � uma vers�o discreta do teorema de Gauss-Bonnet. []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
