Quale o teorema de Gauss-Bonet? --- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > On Thu, Aug 28, 2003 at 07:19:16AM -0300, > Frederico Reis Marques de Brito wrote: > > OL� pessoal. > > > > Confesso que nunca tive interesse por > geometria espacial. Mas outro dia > > parei a perguntar-me se, similarmente ao que > ocorre na geom. plana, h� > > alguma f�rmula para o angulo interno formado > pelas faces de um poliedro > > regular e, neste caso, uma fonte para a > demonstracao. > > Estudar os �ngulos entre faces de um poliedro � > algo bem mais sutil > de que os �ngulos entre lados de um pol�gono. > Voc� pode calcular > os �ngulos entre as faces dos poliedros > regulares mas n�o s�o m�ltiplos > racionais de pi, s�o arcos cujo seno ou cosseno > � um n�mero alg�brico > de grau baixo. > > Um resultado f�cil � o seguinte. Considere um > poliedro convexo. > A partir de cada v�rtice e para cada face > adjacente ao v�rtice, > trace uma semireta exterior ao s�lido e > perpendicular � face. > Temos assim um �ngulo s�lido em cada v�rtice: > chamemos este > �ngulo s�lido de externo. A soma dos �ngulos > s�lidos externos � 4pi. > > Uma vers�o deste teorema que esteve no banco da > IMO1981 (mas n�o na prova) > � o seguinte problema. Em uma regi�o do espa�o > h� n planetas esf�ricos > de mesmo raio. Prove que a �rea total em todos > os planetas a partir > da qual n�o se v� nenhum dos outros planetas no > c�u > � igual � �rea de um dos planetas. > > Isto � uma vers�o discreta do teorema de > Gauss-Bonnet. > > []s, N. > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > =========================================================================
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