Olá Pessoal,
Gostaria de uma ajuda nessas duas questões:
Num triângulo ABC, retângulo em A, a medida do ângulo B é 60º. As bissetrizes destes ângulos agudos se encontra num ponto D. Se o segumento de reta BC mede 1 cm, então a hipotenusa mede, em cm:
a)(1+sqrt(3))/2 b)1+sqrt(3) c)2+sqrt(3) d)1+2sqrt(2) e)1+2sqrt(3)
Imagino que o segmento de que vc fala seja o segmento BD, caso contrário o problema não faria sentido.
O ponto D é o incentro. Trace a bissetriz do aãngulo A, que passa por D. No triângulo ABD, use a lei dos senos: 1/sen(45) = AD/sen(30) => AD = 1/sqrt(2). Trace a altura do triângulo ABD e chame o pé da altura dee H. Usando cos nos triângulos ADH e BDH, dedscubra que AH = 1/2 e BH = sqrt(3)/2 . Logo AB = [1+sqrt(3)]/2 . Agora olhe para o trtiângulo maior: cos60= AB/BC => AB = 1+sqrt(3) , se não errei nas contas. Mas talvez haja um jeito mais imediato de chegar a esse resultado...
Um quadrilátero convexo Q tem diagonais respectivamente iguais a 4 e 6. Assinale, dentre as opções, a única possível para o perímetro de Q.
a)10 b)25 c)15 d)30 e)20
Aqui basta usar as desigualdades triangulares. A,B,C,D são os vértices e a diagonal que mede 4 é a que liga os vértices A a C. Olhe para o triângulo ABD: 6 < AB+AD . No triangulo BCD, 6 < BC+CD . Somando as duas, 12<AB+BC+CD+AD, que é o perímetro. Agora vamos buscar uma desigualdade que limite o perímetro. Se P é o ponto de interseção das diagonais, temos: AB < AP+BP , BC<BP+CP , CD<CP+DP , AD<DP+AP . Somando, AB+BC+CD+DA< 2(AP+CP)+2(BD+DP) = 2*4 + 2*6 = 20 . Então só nos resta a letra c.
Abraço Eduardo
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
