Uma boa ideia e ver o grafo a seguir:
V={A,B,C}
A={AB,AC,BB,CC}
Com isto da pra contar quantos caminhos de
tamanho n existem.depois eu envio algo a mais...
--- "Marcio Afonso A. Cohen"
<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Seguem
alguns comentarios rapidos sobre esse
> problema.. Eh provavel que eu tenha errado as
> contas (nao conferi e fiz meio rapido), mas
> desse jeito foi bom que a resposta ficou
> simpatica..
> Chame de x(n) as palavras de n letras sem dois
> A's adjacentes.
> Quantas palavras x(n+2) existem?
> Se a primeira letra for A, h� duas op��es
> para a segunda letra (B ou C) e a partir da�
> temos x(n) op��es.
> Caso contr�rio, h� duas op��es para a
> primeira letra (B ou C) e a partir da� temos
> x(n+1) op��es.
> Logo, x(n+2) = 2x(n+1) + 2x(n) (*)
> Usar fun��es geratrizes em geral n�o � uma
> boa t�cnica para resolver equa��es lineares de
> coeficientes constantes pq nesse caso tem uma
> teoria mais pr�tica, muito parecida com a que
> voce usa para resolver EDOs..
> Sem maiores explicacoes sobre a teoria (qq
> coisa, de uma lida na Eureka ou mande um email
> que eu dou mais detalhes):
> Solucoes da forma t^n: t^2 - 2t - 2 = 0
> => t = 1 +- sqrt(3), logo x(n) = a(1+sqrt(3))^n
> + b(1-sqrt(3))^n eh solucao de (*) qq que sejam
> a,b.
> No nosso caso por�m, x(1)=3, x(2)=8 (donde
> a recorrencia da x(0) = 1) e portanto a+b=1,
> (a+b) + (a-b)sqrt(3) = 3 e ent�o
> a = (2+sqrt(3))/2sqrt(3) =
> (1+sqrt(3))^2/8sqrt(3), b =
> (-2+sqrt(3))/2sqrt(3) = -(1-sqrt(3))^2/8sqrt(3)
> Logo, x(n) = [(1+sqrt(3))^(n+2) -
> (1-sqrt(3))^(n+2)]/8sqrt(3)
> Mais legal ainda � que, como
> (1-sqrt(3))^(n+2) / 8sqrt(3) eh quase sempre
> muito pequeno, e x(n) eh inteiro, voce pode
> concluir que:
> n par: x(n) = Piso {(1+sqrt(3))^(n+2)/8sqrt(3)}
> n impar: x(n) = Teto
> {(1+sqrt(3))^(n+2)/8sqrt(3)}
> ----- Original Message -----
> From: Domingos Jr.
> To: [EMAIL PROTECTED]
> Sent: Thursday, September 11, 2003 8:47 PM
> Subject: Re: [obm-l] Contagem
>
>
> seja f(n) := n�mero de palavras de n letras
> do alfabeto {A, B, C} sem dois ou mais A's
> consecutivos
> e g(n) := conta todas as palavras contadas
> por f(n) que terminam em A.
> f(1) = 3, g(1) = 1
> f(n + 1) = 3f(n) - g(n)
> [a id�ia: uma palavra de n+1 letras deve
> ser formada por uma palavra de n letras mais
> uma letra, essa letra pode ser A, B, C e a
> palavra anterior a ela n�o pode ter A's
> consecutivos, no entanto se a palavra de
> tamanho n termina em A, n�o podemos colocar A
> como �ltima letra, logo descontamos g(n)]
> g(n + 1) = f(n) - g(n)
> [pegamos uma palavra de n letras sem A's
> consecutivos e que N�O termina em A e
> concatenamos um A]
>
>
> agora vamos tentar resolver essas
> recorr�ncias!
> f(n) = g(n+1) + g(n) =>
> f(n + 1) = g(n + 2) + g(n + 1)
> mas
> f(n + 1) = 3f(n) - g(n) = 3g(n + 1) + 2g(n)
> logo
>
> 3g(n + 1) + 2g(n) = g(n + 2) + g(n + 1)
> g(n + 2) = 2[g(n + 1) + g(n)] = 2f(n)
> f(n + 2) = g(n + 3) + g(n + 2) = 2f(n + 1) +
> 2f(n) = 2[f(n+1) + f(n)]
>
>
> a recorr�ncia passa a ser:
> f(1) = 3, f(2) = 8
> f(n + 2) = 2[f(n+1) + f(n)], n >= 1
>
> os primeiros valores s�o 3, 8, 22, 60, 164,
> ...
>
> vamos obter a fun��o geradora dessa nossa f.
> seja A(x) = soma{i=1..oo} f(i)*x^i
> f(n + 2) = 2[f(n+1) + f(n)] =>
> soma{i=1..oo} f(n + 2) = soma{i=1..oo}
> 2[f(n+1) + f(n)]
>
> temos:
> soma{i=1..oo} f(n + 2) = f(3)x + f(4)x� + ...
> = [A(x) - f(1)x - f(2)x�]/x� = [A(x) -3x -
> 8x�]/x�
> soma{i=1..oo} f(n + 1) = f(2)x + f(3)x� + ...
> = [A(x) - f(1)x]/x = [A(x) - 3x]/x
>
> logo:
> [A(x) -3x - 8x�]/x� = 2{[A(x) - 3x]/x + A(x)}
> A(x) -3x - 8x� = 2{xA(x) - 3x� + x�A(x)}
> A(x) (2x� + 2x - 1) = (-2x� - 3x)
> A(x) = (-2x� - 3x)/(2x� + 2x - 1) = -1 -
> (x+1)(2x� + 2x - 1)
>
>
> precisamos agora calcular o coeficiente de
> x^n na s�rie que define A(x), fazer isso � um
> pouco trabalhoso e � bem t�cnico... o livro do
> Herbert Wilf, generatingfunctionology calcula o
> falor de fib(n), a sequ�ncia de Fibonacci...
>
> devemos expandir (x+1)/(1 - 2x - 2x�) em
> "partial fractions" (n�o sei uma boa tradu��o).
>
> infelizmente estou apanhando pra fazer essa
> expans�o, fico te devendo!
>
> um lugar legal pra ver que vc acertou o
> problema �:
> http://www.research.att.com/~njas/sequences/
> que tem um banco de dados grande de
> seq��ncias inteiras, procure a sequ�ncia 3, 8,
> 22, 60, 164 pra vc ver que legal!
>
> [ ]'s
>
> ----- Original Message -----
> From: [EMAIL PROTECTED]
> To: [EMAIL PROTECTED]
> Sent: Thursday, September 11, 2003 6:05 PM
> Subject: [obm-l] Contagem
>
>
> Usando as letras A, B e C podemos formar
> 3^n "palavras" de n letras. Quantas dessas
> palavras n�o possuem dois ou mais A�s
> adjacentes??
> Esse exerc�cio foi extra�do do livro
> Problem-solving strategies, de Arthur Engel.
> Gostaria de ver outra solu��o, pois, a
> express�o final da minha solu��o est� muito
> estranha...risos...eu diria ...desengon�ada. Se
> algu�m fizer eu agrade�o.
> Korshinoi
>
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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