"E bem legal esta tecnica" e pode ser achada na
Eureka!
--- "Domingos Jr." <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu: > A recorr�ncia sa�a mais f�cil
pensando assim,
> eu percebi isso depois que cheguei em x(n + 2)
> = 2[x(n+1) + x(n)], mas resolvi n�o jogar fora
> o caminho que usei pra chegar nesse
> resultado...
>
> � bem legal essa t�cnica, se assumirmos que a
> resposta � da forma:
> x(n) = a.c^n + b.d^n
> ent�o
> x(n+1) = c.a.c^n + d.b.d^n
> x(n+2) = c�.a.c^n + d�.b.d^n
> e como x(n+2) = 2x(n+1) + 2x(n) temos
>
> c�.a.c^n + d�.b.d^n = 2c.a.c^n + 2d.b.d^n +
> 2a.c^n + 2b.d^n
> agrupando, temos
> a.c^n(c� - 2c - 2) + b.d^n(d� - 2d - 2) = 0
>
> se tomarmos c e d como ra�zes de t� - 2t - 2 =
> 0 satisfazemos o sistema acima para todo n,
> depois basta encontrar os valores a e b que
> satisfa�am os valores iniciais (base da
> recorr�ncia).
>
> obrigado pelos coment�rios, mas eu ainda assim
> gostaria de saber como seria feito a an�lise do
> coef. de x^n na fun��o geradora dessa
> seq��ncia!
>
> [ ]'d
>
> Seguem alguns comentarios rapidos sobre esse
> problema.. Eh provavel que eu tenha errado as
> contas (nao conferi e fiz meio rapido), mas
> desse jeito foi bom que a resposta ficou
> simpatica..
> Chame de x(n) as palavras de n letras sem
> dois A's adjacentes.
> Quantas palavras x(n+2) existem?
> Se a primeira letra for A, h� duas op��es
> para a segunda letra (B ou C) e a partir da�
> temos x(n) op��es.
> Caso contr�rio, h� duas op��es para a
> primeira letra (B ou C) e a partir da� temos
> x(n+1) op��es.
> Logo, x(n+2) = 2x(n+1) + 2x(n) (*)
> Usar fun��es geratrizes em geral n�o �
> uma boa t�cnica para resolver equa��es lineares
> de coeficientes constantes pq nesse caso tem
> uma teoria mais pr�tica, muito parecida com a
> que voce usa para resolver EDOs..
> Sem maiores explicacoes sobre a teoria
> (qq coisa, de uma lida na Eureka ou mande um
> email que eu dou mais detalhes):
> Solucoes da forma t^n: t^2 - 2t - 2 =
> 0 => t = 1 +- sqrt(3), logo x(n) =
> a(1+sqrt(3))^n + b(1-sqrt(3))^n eh solucao de
> (*) qq que sejam a,b.
> No nosso caso por�m, x(1)=3, x(2)=8
> (donde a recorrencia da x(0) = 1) e portanto
> a+b=1, (a+b) + (a-b)sqrt(3) = 3 e ent�o
> a = (2+sqrt(3))/2sqrt(3) =
> (1+sqrt(3))^2/8sqrt(3), b =
> (-2+sqrt(3))/2sqrt(3) = -(1-sqrt(3))^2/8sqrt(3)
> Logo, x(n) = [(1+sqrt(3))^(n+2) -
> (1-sqrt(3))^(n+2)]/8sqrt(3)
> Mais legal ainda � que, como
> (1-sqrt(3))^(n+2) / 8sqrt(3) eh quase sempre
> muito pequeno, e x(n) eh inteiro, voce pode
> concluir que:
> n par: x(n) = Piso
> {(1+sqrt(3))^(n+2)/8sqrt(3)}
> n impar: x(n) = Teto
{(1+sqrt(3))^(n+2)/8sqrt(3)}
_______________________________________________________________________
Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai
dar um Renault Clio, computadores, c�meras digitais, videogames e muito
mais! www.cade.com.br/antizona
=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
