Bem, da pra usar a reciprocidade quadratica.
Completando quadrado vemos que nosso polinomio deixa algo como
Completando quadrado vemos que nosso polinomio deixa algo como
(2x)^2+2*5*(2x)++25-25+4*23=0 mod p, ou como quiser
(2x+5)^2=67mod p ou seja 67 e residuo quadratico mod p e assim, lendo a Eureka e possivel ver que p e quadrado modulo 67.
Agora e ir a luta mesmo!
"Domingos Jr." <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
"Determine o menor primo positivo que divide x^2 + 5x + 23 para algum
inteiro x."
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q(x) = x� + 5x + 23
note que 23 � divisor de q(0)
em segundo lugar veja que se para um dado x p|q(x), ennt�o existe um valor r
< p tal que p|q(r), basta ver que pelo algoritmo da divis�o temos x = pm + r
com 0 <= r < p para algum m inteiro, logo
q(x) = q(pm + r) = (pm + r)� + 5(pm + r) + 23 = p�m� + 2pm(r + 5) + r� + 5r
+ 23
como p|q(pm + r), p|[p�m� + 2pm(r + 5) + r� + 5r + 23], logo
p|(r� + 5r + 23), p|q(r)
ent�o voc� vai testar no m�ximo os primeiros 23 valores do polin�mio :-)
t�, ok, n�o deixa de ser uma tarefa massante, mas d� pra fazer isso
facilmente
q(x+1) = (x+1)� + 5(x+1) + 23 = x� + 7x + 29
q(x+1) - q(x) = 2x + 6
q(0) = 23
q(1) = 23 + 2.1 + 6 = 31
q(2) = 31 + 2.2 + 6 = 41
q(3) = 41 + 2.3 + 6 = 53
q(4) = 53 + 2.4 + 6 = 67
...
se voc� quer ser met�dico, monte uma tabela com os primeiros valores de 2x +
6 e v� calculando os valores do polin�mio dessa forma (duvido que vc perca
mais do que 5 minutos pra chegar na solu��o).
n�o sei se respondi seu item (a) satisfatoriamente, mas n�o veio nenhuma
id�ia de como resolver isso facilmente (resolver os polin�mios mod p n�o �
muito divertido).
item (b)
se q(x) = a0 + a1x + a2x� + ... + a[n]x^n � um polin�mio de coef. inteiros
(se forem racionais, multiplique o pol. por um inteiro que transforme todos
os coef. em inteiros) ent�o r = u/v � uma raiz racional desse polin�mio
somente se u divide a0 e v divide a[n].
item (c)
a lista � para todos os n�veis
[ ]'s
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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