8) Se um quadrilátero cujos lados medem a, b, c e x está inscrito num semi-círculo de diâmetro x, então:
x^3 – (a^2 + b^2 +c^2)x – 2abc = 0
Aff estou destreinado em geometria. Vamos lá:
Pra ficar mais claro, eu dei nomes pros vértices. Seja o quadrilátero PQRS tal que:
PQ=a
QR=b
RS=c
PS=xe além disso vamos considerar também a diagonal:
QS=d
Se PQRS está inscrito no semi-circulo de diâmetro x, então o lado PS do quadrilátero é o próprio diâmetro. Por isso, o ângulo PQS que subentende o diâmetro só pode ser reto. Sendo o triângulo PQS retângulo, tiramos que:
PQ^2 + QS^2 = PS^2 => a^2+d^2=x^2 => d^2=x^2-a^2
Além disso, cos QPS = QP/PS = a/x
Agora notamos que o ângulo QRS subentende o arco oposto ao arco subentendido por QPS, portanto os ângulos são suplementares. Daí tiramos que QRS = 180 - QPS => cos QRS = -cos QPS = -a/x .
Por fim, aplicando lei dos cossenos no triângulo QRS:
d^2=b^2+c^2-2bc.cos QRS
x^2-a^2 = b^2+c^2-2bc.(-a/x)x(x^2-a^2-b^2-c^2)-2abc=0
x^3 - (a^2+b^2+c^2)x - 2abc = 0 QED
---------------------------------------------------------------- Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou" ------ União contra o forward - crie suas proprias piadas ------
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