Ola Ricardo e demais colegas desta lista ... OBM-L,
Ou voce nao leu a demonstracao que apresentei com atencao ou voce nao conhece a
demonstracao de Euclides ...
Na prova de Euclides ele considera o PRODUTO DE TODOS OS PRIMOS, supostos em numero
finito, isto e : M = 2*3*5*7*11*13*17*19*...*Pn + 1. Na demonstracao que apresentei eu
considero O PRODUTO DE TODOS OS NUMEROS, PRIMOS OU NAO, isto e : M= N! + 1.
Veja bem : N !. Isto e : M=1*2*3*4*5*6*7*8*9*...*N + 1.
Sao, portanto, provas distintas.
Aqui vai outra, que eu ja conhecia ( nao sei quem fez ) :
Suponha que o numero de numeros primos e finito. Seja P1, P2, ..., Pn uma enumeracao destes
numeros e faca N = P1*P2*P3*...*Pn. Entao o numero N-1 sera composto, pois ele e maior que
qualquer dos primos. Segue que existe Pi que divide N-1. Ora, Pi divide N e divide N-1, logo
Pi divide N - (N-1), isto e, Pi divide 1 ..... ABSURDO !!!!!
Aqui vai outra, que eu tambem ja conhecia ( foi Euler que descobriu ) :
Suponha que o numero de numeros primos e finito. Seja P1, P2, ..., Pn uma enumeracao destes
numeros. Sabemos que a progressao geometrica infinita :
Si =1 + (1/Pi) + (1/(Pi^2)) + (1/(Pi^2)) + ... tem soma 1/(1 - (1/Pi)) Isto e : Si =1 + (1/Pi) + (1/(Pi^2)) + (1/(Pi^2)) + ... = 1/(1 - (1/Pi))
Fazendo i varia de 1 ate N e multiplicando membro a membro as N igualdades que obtemos,
chegaremos a :
S1*S2*S3*...*Sn =[1/(1 - (1/P1))]*[1/(1 - (1/P2))]*...*[1/(1 - (1/Pn))]
Como o numero dos numeros primos e finito e TODO NUMERO PODE SER EXPRESSO COMO
UM PRODUTO DE PRIMOS, do lado esquerdo surgira, necessariamente, a serie harmonica :
1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + ...
que sabemos que DIVERGE e, consequentemente, o lado esquerdo diverge e SE TORNA MAIOR
QUE QUALQUER NUMERO REAL FIXO. Ja o lado direito e um produto finito de numeros reais, isto e,
UM NUMERO REAL FIXO ... ABSURDO !!!
Aqui vai outra, que eu tambem ja conhecia ( foi Goldback que descobriu )
Os numeros da forma : Fn=(2^(2^n)) + 1 sao chamados NUMEROS DE FERMAT, pois Fermat
conjecturou que eles eram primos. Euler mostrou que a conjectura era falsa, pois calculou F5 e
mostrou que 641 divide F5.
OBS1 : Talvez Fermat tenha feito tal conjectura motivado pelo fato ( verdadeiro ) de que se
2^N + 1 e primo entao N = 2^K para algum K
Os numeros de Fermat tem uma propriedade simples e interessante, qual seja : Fn - 2 = (Fn-1)*(Fn-2)*...*(F1)*(F0).
OBS2 : Para ver como se chega a esta propriedade, basta notar que :
(Fn) - 2 = (2^(2^n)) - 1 = [(2^(2^(n-1)) + 1]*[(2^(2^(n-1))) e aplicar esta fatoracao
reiteradamente N vezes
Suponha agora que Fn e Fm sao dois numeros de Fermat distintos. Sem perda de generalidade
podemos supor m < n. Seja p um fator primo comum a Fm e Fn, digamos, p. Ora, como m < n
entao Fm divide (Fn) - 2, pois (Fn)-2= (Fn-1)*(Fn-2)*...*(F1)*(F0). Assim, p divide Fm e Fn e,
alem disso, Fm divide (Fn) - 2. Segue que p divide (Fn) - 2. Portanto, p divide Fn e (Fn)-2. Logo
: p divide Fn - ( (Fn) - 2 ). Isto e : p divide 2. Isto e : p=2 ... ABSURDO ! Pois qualquer numero
de Fermat e necessariamente impar e, portanto, nenhum deles pode ter 2 como fator primo.
Fica portanto provado que dois numeros de Fermat sao primos entre si. Ora, o numero de
numeros de Fermat e infinito. Logo : existem infinitos numeros primos.
Bom, vou ficar por aqui. Existem muitas provas sobre a infinitude de primos e eu devo conhecer
apenas cerca de uma duzia.
Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1252,210104
i.
From: Ricardo Bittencourt <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Uma belissima demonstracao Date: Wed, 21 Jan 2004 11:39:12 -0300
Paulo Santa Rita wrote:
Alguem, recentemente, me enviou uma demonstracao da existencia de infinitos numeros primos
que e muito simples e bela e que eu nao conhecia. Segundo esta pessoa, esta prova foi encontrada
independentemente por Kumer e Hermite, dois Matematicos do passado.
Eu sempre aprendi que essa prova foi feita pelo Euclides, e o site do Wolfram parece confirmar isso:
http://mathworld.wolfram.com/EuclidsTheorems.html
-- Ricardo Bittencourt
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