N�o tenho certeza sobre o tal paradoxo, mas ao que me parece seria relativo ao processo de obten��o dessa corda.
Escolhendo ao acaso uma corda de uma circunfer�ncia, qual � a probabilidade de que ela seja maior que o lado do tri�ngulo equil�tero inscrito nessa circunfer�ncia? Se escolhermos uma corda j� "pronta" dentro da circunfer�ncia a probabilidade � diferente de considerar essa corda(que n�o deixa de ser um segmento de reta) formada pela uni�o de 2 pontos escolhidos aleatoriamente na circunfer�ncia. No caso da corda j� "pronta" acho que a probabilidade � 1/2. Tra�a-se o di�metro da circunfer�ncia e considerando-se a corda perpendicular a este di�metro, ela teria somente metade do segmento para ser maior que o lado do triangulo eq�il�tero inscrito. Agora, se formarmos a corda por 2 pontos escolhidos aletoriamente teremos 2 possibilidades: a) o primeiro ponto cai dentro da circunfer�ncia conc�ntrica � citada no enunciado, e com raio de metade da mesma(N�o sei se usei o portugu�s corretamente... "O primeiro ponto cai dentro de uma circunfer�ncia de raio 2, se a circunfer�ncia citada no enunciado for de raio 4. Estas duas s�o concentricas). Se assim for, ent�o o pr�ximo ponto poder� cair onde quiser que ele ser� maior que o lado do triangulo eq�il�tero inscrito. b) primeiro ponto cai dentro da circunfer�ncia conc�ntrica � citada no enunciado, e com raio de metade da mesma. Ent�o teria-se que calcular a �rea em que o outro ponto poderia ser posto para satisfazer a condi��o do enunciado. Na verdade esse c�lculo acho que � bem complicado... pois pelo que deu pra perceber existe uma probabilidade m�nima e uma probabilidade m�xima, que seriam respectivamente se o primeiro ponto ca�sse em cima da circunfer�ncia de raio maior, ou se o primeiro ponto ca�sse em cima da de raio menor. Por sinal eu gostaria de saber de algu�m como seria o calculo dessa probabilidade m�dia. Seria tomando uma �rea m�dia? Ou fazendo a media das probabilidades m�nima e m�xima? Ou tanto faz? Heheheh eu realmente fiquei na duvida N�o sei se � isso que realmente define o tal paradoxo, mas pelo que deu a entender � isso. Bem interessante! Abra�os, Douglas Ribeiro -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: quarta-feira, 11 de fevereiro de 2004 11:39 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] O PARADOXO DE BERTRAND! On Tue, Feb 10, 2004 at 08:26:56PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Turma! Alguma id�ia a respeito do problema dos dados? Eu, particularmente, > continuo na mesma, apesar de achar o racioc�nio muito parecido com o da > Pen�lope x Ol�via, elucidado recentemente pelo Ralph. Enquanto isso, vejam > abaixo um famoso paradoxo em que incrivelmente um problema sobre > probabilidades passa a ter diversas respostas. Voc� quer dizer aquele que eu propus e repito abaixo? � muito dif�cil, e a dificuldade � combinat�ria, nada a ver com estes problemas de probabilidade com um racioc�nio certo e outro errado. []s, N. PS: O que � o paradoxo de Bertrand? ======================================================================== ==== Tome uma cole��o finita de dados. Os dados n�o precisam ter 6 faces, o n�mero de faces � um inteiro positivo qq n, e as faces s�o numeradas de 1 a n. O valor de n (o n�mero de faces) pode inclusive variar de um dado para outro, isto �, estamos misturando dados de v�rios tipos. A �nica restri��o � que cada dado deve ser honesto, i.e., que em um dado com n faces cada face tem probabilidade 1/n. Os dados tamb�m s�o independentes uns dos outros, claro. Vamos jogar todos os dados da cole��o e somar todos os n�meros sorteados: chamemos esta soma de N. � bem f�cil calcular os valores m�nimo e m�ximo poss�vel de N: Nmin � o n�mero de dados e Nmax � o n�mero total de faces de todos os dados. Seja Nm = (Nmin + Nmax)/2. Sejam N1 > N2 >= Nm. Prove que prob(N=N1) <= prob(N=N2). ======================================================================== = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ======================================================================== = ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
