Mas como seria feita a medida desses angulos Nicolau? J� que num triangulo esf�rico a soma dos �ngulos � sempre maior que 180? Pq se fossem os �ngulos do plano relativo aos 3 pontos que formam o triangulo seria mais f�cil, especialmente no caso do tetraedro, onde A = B = C = 60, mas no caso da esfera eu pelo menos n�o fa�o id�ia de como se faz.
Aproveitando o problema... Gostaria de saber se h� como a generaliza��o dele: Dado um triedro com v�rtice no centro de uma esfera de raio R, determinar o seu volume em fun��o dos 3 �ngulos formados entre as semi-retas que formam o triedro. Acho que seria bem interessante, cheguei a elaborar algumas id�ia sobre isso, mas n�o tive grandes �xitos. Um abra�o, Douglas Ribeiro Silva -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: quarta-feira, 25 de fevereiro de 2004 19:50 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] geometria Um fato que ajuda muito � o seguinte. Um tri�ngulo esf�rico � um peda�o da esfera de raio 1 limitaedo por tr�s "segmentos" que s�o peda�os de c�rculos m�ximos. Um tri�ngulo esf�rico tem tr�s �ngulos A, B, C. A �rea deste tri�ngulo � A + B + C - Pi (onde A, B, C s�o medidos em radianos). On Wed, Feb 25, 2004 at 08:42:54PM +0000, [EMAIL PROTECTED] wrote: > DESAFIO!!!!!!!!!!!!!!!!!! > @4 esferas iguais de raio r est�o se tangenciando de forma que a liga��o de > seus centros formem um tetraedro. O tetraedro �corta� um certo volume de > cada esfera, qual � o valor desse volume em fun��o de r? Tome r = 1. Os �ngulos entre faces de um tetraedro regular s�o iguais a A = 2 arc sen(sqrt(3)/3) ~= 1.230959418. Ent�o a �rea do tri�ngulo esf�rico contido no tetraedro � SA = 3*A - Pi ~= 0.551285599. O volume � 1/3 disso (pois o volume da esfera de raio 1 � 1/3 da sua �rea) logo A - Pi/3 ~= 0.1837618663. Se o raio tiver outro valor � s� multiplicar por r^3. Observe que isto � um pouco menos de 1/20 do volume da esfera (que d� 4*Pi/(3*20) ~= 0.2094395103. > @5 esferas iguais de raio r est�o se tangenciando da forma que a liga��o de > seus centros forme uma pir�mide de base quadr�tica com todas as arestas > iguais. Haver� 2 tipos de volumes cortados pelas esferas: o volume que as 4 > esferas da base quadr�tica �corta� da pir�mide e o volume que a esfera do > topo �corta� da mesma. Qual � o valor desses dois volumes em fun��o de r? Aqui os centros das suas 5 esferas s�o 5 dos 6 v�rtices de um octaedro regular ent�o o volume do topo � o dobro de cada um dos volumes da base. Da mesma forma o tri�ngulo esf�rico que aparece na base tem �ngulos B, B e 2B, onde B � o �ngulo entre uma face do octaedro e o plano que passa por 4 dos seus v�rtices. Mas B � igual ao �ngulo formado pelos vetores (1,1,1) e (0,0,1) (que s�o perpendiculares a uma face e a um plano se os v�rtices do octaedro forem (+-sqrt(2),0,0), (0,+-sqrt(2),0), (0,0,+-sqrt(2)) para que a aresta seja 2) logo B = arc cos(sqrt(3)/3) ~= 0.9553166180. Tamb�m dava para ver que A/2 + B = Pi/2 olhando como octaedros e tetraedros se encaixam para encher o espa�o (tome todos os pontos de coordenadas inteiras com soma par e ligue pontos a uma dist�ncia sqrt(2)). Mas o fato � que a �rea do nosso tri�ngulo esf�rico � 4*B - Pi ~= 0.679673818 e o volume � (4*B - Pi)/3 ~= 0.2265579393. A �rea no topo � o dobro, como j� dissemos, SB = 8*B - 2*Pi ~= 1.359347636 e o volume � (8*B - 2*Pi)/3 ~= 0.4531158786. Observe que 6*SB + 8*SA = 4*Pi, coerentemente com aquela maneira de encher o espa�o com octaedros e tetraedros: h� 6 octaedros e 8 tetraedros ao redor de cada v�rtice. > @Se do volume da pir�mide quadr�tica acima for �cortado� todos os volumes > formado pelas 5 esferas, parte somente de dentro da pir�mide, sobrar� um > volume central n�o �cortado�. O volume da pir�mide (meio octaedro) � claramente 4*sqrt(2)/3 ~= 1.885618082. Este volume central � portanto 4*sqrt(2)/3 - 8*B + 2*Pi ~= 0.526270446. > Se o volume central fosse > necessariamente �distribu�do� para as 5 esferas, como seria feito a > distribui��o? Ela seria proporcional � �rea superficial da parte esf�rica de > dentro da pir�mide ou ao volume que cada esfera �corta� da pir�mide? Esta parte eu n�o entendi. Minha �nica observa��o � que os volumes e �reas s�o trivialmente proporcionais, como j� vimos. []s, N. ======================================================================== = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ======================================================================== = ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
