Observe que P(x) =( x-1) ( 3x^2+2x+1), como A � matriz real e P(A)=0 ent�o A =I = matriz identidade e da� � imediato que lim ( A^k) =I =B e B^2=B
ii) A � uma matriz complexa
Seja q(x) o polin�mio m�nimo de A , ent�o q(A)=0 e q(x) pode ser um dos seguintes polin�mios
Q1(x)= x + 1/3- sqtr(2)i/3 (a)
Q2(x)= x + 1/3+ sqtr(2)i/3 (b)
Q3(x)= 3x^2+2x+1 ( c )
Q4(x)= p(x) (d)
Nos casos (a) e (b) temos A= (-1/3+ sqtr(2)i/3) I ou A= (-1/3- sqtr(2)i/3) I donde � imediato que lim ( A^k)=0=B e B^2=B
No caso (c ) usando o algoritmo da divis�o podemos obter polin�mios M(x) e r(x) de modo que f (x) = x^k = Q3(x)M(x)+ r(x) onde r(x)=0 ou r(x)=ax+b.
Se r(x)=0 ent�o segue que lim f(A) = lim ( A^k)=0 pois Q3(A)=0. No caso em que r(x) = ax+b considere Z1 e Z2 as ra�zes complexas de Q3(x), ent�o temos
f(Z1)= Z1^k= r(Z1)= aZ1+b da� 0= lim f(Z1)= aZ1+b (e ) . De modo an�logo temos 0= lim f(Z2)= aZ2+b (f ) . resolvendo o sistema (e ) e ( f ) obtemos a=b=0, da� r(x)=0 e neste caso mais uma vez temos lim f(A) = lim ( A^k)=0 pois Q3(A)=0. No caso ( d ) mais uma vez usando o algoritmo da divis�o podemos obter polin�mios M1(x) e r1(x) de modo que f (x) = x^k = Q4(x)M1(x)+ r1(x) onde r1(x)=0 ou r1(x)= nx^2+mx +s . Se r1(x) =0 procedemos como no caso anterior para mostrar que lim ( A^k)=0 , se r1(x)= nx^2+mx +s ent�o substitu�mos x pelas ra�zes do polin�mio Q4(x) para obter o sequinte sistema;
1=lim (1)^k = r1(1) = n+m+s (g)
resolvendo o sistema ( g) , ( h) e ( i ) obtemos n= � m = 1/3 e s = 1/6 da� lim f(A) = lim ( A^k)= r1(A)=1/6 Q4(A)=0 =B e B^2=B
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