On Fri, Feb 27, 2004 at 05:23:46PM -0300, Danilo notes wrote: > Seja A uma matriz quadrada n x n tal que 3A^3=A^2+ A + I prove que > (A^k) converge para B tal que B^2=B . k é numero natural.
Os autovalores x de A devem todos satisfazer 3x^3 = x^2 + x + 1 ou (x - 1)(3x^2 + 2x + 1) = 0. Assim x = 1 ou x = - 1/3 +- i sqrt(2)/3. Observe que estes possíveis autovalores complexos têm módulo menor do que 1. Mais do que isso, como este polinômio só tem raízes simples a matriz A é necessariamente diagonalizável. Assim A = M^{-1} D M onde M é uma matriz inversível e D é uma matriz diagonal com entradas todas iguais a 1 ou - 1/3 +- i sqrt(2)/3. Claramente o limite de D^k quando k tende a infinito é uma matriz diagonal D' com entradas 1 e 0. Assim o limite de A^k é M^{-1} D' M. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================