on 02.03.04 00:55, F�bio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: > -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE----- > Hash: SHA1 > > Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> said: >> Oi, pessoal: >> >> Alguem tem uma solucao elegante pro problema a seguir? >> >> Seja A uma matriz real 3x3 tal que A^2005 = I. >> Prove que A = I. >> >> Eu consegui fazer mas achei minha solucao horrorosa. Acho que pode haver >> algum teorema macetoso de algebra linear que eu desconheco. >> [...] > > Eu acho que A = [1 0 0; 0 cos(t) sen(t); 0 -sen(t) cos(t)], onde t = > 2*pi/2005, � tal que A^2005 = I -- pelo menos o PARI-GP concorda comigo. > > []s, > > - -- > F�bio "ctg \pi" Dias Moreira
Voce estah certo. Os autovalores de A sao 1, e^(it) e e^(-it) e, portanto, existe uma matriz inversivel P, de coeficientes complexos, tal que: A = P*D*P^(-1), onde D = diag(1,e^(it),e^(-it)). Logo, A^2005 = P*D^2005*P(-1) = P*I*P^(-1) = I, apesar de A <> I. O meu erro foi supor que, por serem raizes 2005-esimas da unidade, os autovalores de A nao poderiam ser raizes de um polinomio de grau 3, a menos que eles fossem todos iguais a 1, mas isso eh uma grande besteira e o polinomio caracteristico da sua matriz A eh o contra-exemplo. Mais uma vez, muito obrigado. Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
