on 02.03.04 14:54, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: >> Uma duvida: existe uma maneira mais curta de se provar que A = I, dado que >> A^2005 = I e que os autovalores de A sao 1, 1 e 1? > > tome a fatora��o de Schur de A: (Q � unit�ria e T � triangular superior) > > http://mathworld.wolfram.com/SchurDecomposition.html > > A = QTQ* > A^2005 = Q.T^2005.Q* = I => > Q.T^2005.Q*.Q = I.Q > => Q(T^2005 - I) = 0 > mas Q � unit�ria e portanto T^2005 = I > > os autovalores de A aparecem na diagonal de T, ou seja T tem diagonal (1, 1, > 1) > > note que > | 1 a b | | 1 a' b' | | 1 a + a' b + ac' + b' | > | 0 1 c | | 0 1 c' | = | 0 1 c + c' | > | 0 0 1 | | 0 0 1 | | 0 0 1 | > > podemos verificar que se T � a matriz da esquerda e a = T(1, 2) < 0, ent�o > T^n(1,2) = n*a e T^n(2,3) = n*c > logo se T^2005 = I, a = c = 0, e nesse caso temos que T^n(1, 3) = n*b e > chegamos a conclus�o que b = 0 e T = I. > > logo A = QTQ* = QIQ* = QQ* = I > > [ ]'s > Legal! Muito obrigado.
Acabei de ver num livro de algebra linear que o simples fato de os tres autovalores de A serem racionais (no nosso caso, iguais a 1) faz com que exista uma matriz racional P, inversivel mas nao necessariamente ortogonal, tal que P*A*P^(-1) eh triangular. De qualquer jeito, a conclusao da demonstracao eh a mesma. Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
