Acho que podemos usar o Teorema da Funcao Implicita. Definamos f(x,y)= x^y e g(x,y) = y^x. f e g tem derivadas parciais continuas em {(x,y) | x>0, y>0}. Se J eh o Jacobiano do sistema avaliado em x=u e y=v, entao J = [determinante [y*(x^(y-1)) ,x^y * ln(x) ; y^x * ln(y) , x*(y^(x-1))]|(u,v) = [x^y * y^x *(1 - ln(x) * ln(y))]|(u,v) = u^v * v*u * (1 - ln(u) * ln(v)). Se J nao se anular em (u,v), podemos entao afirmar com base no T. da Funcao Implicita que x e y podem ser explicitados em funcao de u e de v. Eh facil que ver que, se ln(u) * ln(v) <>1, entao J <> 0 e o sistema f(x,y) = u e g(x,y) = v tem solucao. No seu caso, temos u =a e v =a+1, par a>0. Logo podemos afirmar que teremos solucao sempre que ln(a) * ln(a+1) <>1. Se definirmos h(a) = ln(a) * ln(a+1,)vemos que h eh continua para a>0 e eh negativa em (0,1)Deste forma, neste intervalo h(a) =1 nao se verifica. Em a=1 h se anula e para a>1 eh facil ver que h eh estritamente crescente e positiva. Logo, existe um e apenas um valor de a, digamos a0, necessariamente positivo, para o qual h(a0) =1. Eh tambem facil de ver que a0 <e . Neste valor, nao podemos garantir, com base no T. da F. Implicita, que seu sistema tem solucao. Mas para todos os outros valores de a>0 ele tem. Entretanto, trabalhando com um computador, verfiquei que a0 =~ 2,3072. E resolvendo seu sistema numericamente vi que ele tem solucao pra este valor a0 (O T. da F. Implicita eh "se", mas nao "somente se"). Disto concluimos que seu sistema tem solucao para todo a>0. Se a<> a0, podemos afirmar que tem solucao unica. Agora, achar uma expressao bonitinha e fechada de x e de y em funcao de a nao parece muito facil
Artur P.S. Eu no momentomnao estou lembrado de todos os detalhes do T. da F. Implicita, mas acho que eh isto. --- Márcio Pinheiro <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Olá, pessoal. > Gostaria de ajuda na seguinte questão: > Encontrar os valores de x e de y, para os quais > x^y=a e y^x = a+1. Discutir > as soluções para os possíveis valores de a. > Desde já, agradeço. > Márcio. > > _________________________________________________________________ > MSN Messenger: converse com os seus amigos online. > http://messenger.msn.com.br > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= __________________________________ Do you Yahoo!? Yahoo! Search - Find what you’re looking for faster http://search.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================