On Tue, Mar 02, 2004 at 07:33:54PM +0000, M�rcio Pinheiro wrote: > Encontrar os valores de x e de y, para os quais x^y=a e y^x = a+1. Discutir > as solu��es para os poss�veis valores de a.
Eu n�o sei dar uma solu��o completa para este problema, mas tenho algumas observa��es a fazer. N�o vou demonstrar quase nada, � tudo matem�tica experimental. Escreva x = e^u, y = e^v. Defina w = f(u,v) = exp(v exp(u)) - exp(u exp(v)). As curvas de n�vel w = 0 (azul) e w = 1 (vermelho) est�o mostradas na figura atachada: a curva vermelha d� as solu��es da equa��o (a menos da muden�a de vari�vel entre (x,y) e (u,v)) para a arbitr�rio. Podemos observar que a curva vermelha tem duas componentes, ambas parecem ser assint�ticas ao eixo horizontal. O valor de a = exp(u exp(v)) parece crescer monotonamente quando percorremos a componente da esquerda, indo de 0 a +infinito. J� na curva da direita, o valor de a tende a +infinito nas duas pontas e parece ter um �nico m�nimo local. O ponto de m�nimo local pelas minhas contas � aproximadamente x = 4.313517, y = 1.982000, a = 18.123252. Se isto tudo estiver certo a equa��o tem uma �nica solu��o para a < amin (na curva da esquerda), duas solu��es para a = amin (uma em cada curva) e tr�s solu��es para a > amin (uma na curva da esquerda e duas na curva da direita). Falta provar (ou desmentir!) tudo isso e ver se amin ~= 18.123252 admite uma express�o bonitinha. []s, N.
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