Um problema um pouco mais dificil eh o seguinte: Seja M uma matriz n x n tal que tr(M) = 0. Prove que existem matrizes n x n A e B tais que M = AB - BA.
Acho que dah ateh pra impor algumas restricoes a A e B, mas comecemos com o problema irrestrito. []'s, Claudio. on 09.03.04 01:09, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > De fato, se AB - BA = I, entao tr(AB) = tr(BA + I) = tr(BA) + n, onde n>0 eh > a ordem das matrizes. Logo, tr(AB) = tr(AB) + n, e, portanto, n=0, o que nao > eh possivel. > Eu acho que eu vi esta questao numa prova de Algebra Linear na faculdade. O > professor deu a sugestao de considerar que tr(AB) = tr(BA) - e com isto > praticamente resolveu a questao para os alunos que tinham um minimo de > conhecimento. > Artur > >> >> Oi, pessoal; >> >> Numa prova do IME dos anos 80, caiu uma questao que pedia pra provar que >> nao >> existem matrizes quadradas A e B tais que AB - BA = I (I = matriz >> identidade). >> >> A unica demonstracao que eu conheco usa o fato (facil de se provar - apenas >> use a definicao de produto e algumas manipulacoes algebricas simples) de >> que >> tr(AB) = tr(BA), onde tr(X) = tra�o da matriz X (veja mensagem do Domingos >> para a definicao de tra�o). >> ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
