caro amigo Claudio , Você pode demonstrar a propriedade:
Outra propriedade que vale apenas em espacos vetoriais de dimensao finita eh a seguinte: se T e U sao operadores lineares tais que UT = I, entao TU = I
PONCE
Claudio Buffara escreveu:
Oi, pessoal;
Numa prova do IME dos anos 80, caiu uma questao que pedia pra provar que nao existem matrizes quadradas A e B tais que AB - BA = I (I = matriz identidade).
A unica demonstracao que eu conheco usa o fato (facil de se provar - apenas use a definicao de produto e algumas manipulacoes algebricas simples) de que tr(AB) = tr(BA), onde tr(X) = traço da matriz X (veja mensagem do Domingos para a definicao de traço).
***
Como eh sabido, uma matriz quadrada n x n representa um operador linear num espaco vetorial de dimensao n (veja um livro de algebra linear para as definicoes de todos esses termos).
Isso quer dizer que o resultado acima prova que, num espaco vetorial de dimensao finita, nao existem operadores lineares T e U tais que TU - UT = I, onde o produto TU significa composicao de operadores (ou seja TU(v) = T(U(v)) para todo vetor v no espaco vetorial) e I = operador identidade (Iv = v para todo v no espaco vetorial).
No entanto, se o espaco tiver dimensao infinita, entao eh possivel que existam operadores T e U tais que TU - UT = I.
Por exemplo, considere o espaco vetorial dos polinomios com coeficientes
reais e os operadores lineares T e U, tais que:
T(f(x)) = f'(x) (operador derivacao)
e
U(f(x)) = x*f(x)
Entao: TU(f(x)) = T(U(f(x)) = T(x*f(x)) = f(x) + x*f'(x)
e
UT(f(x)) = U(T(f(x)) = U(f'(x)) = x*f'(x) ==>
(UT - TU)(f(x)) = UT(f(x)) - TU(f(x)) = f(x) + x*f'(x) - x*f'(x) = f(x), ou seja: TU - UT = I.
***
Outra propriedade que vale apenas em espacos vetoriais de dimensao finita eh a seguinte: se T e U sao operadores lineares tais que UT = I, entao TU = I
Em outras palavras, se T tem um inverso a esquerda U (ou seja, um operador U tal que UT = I), entao U eh tambem um inverso a direita de U (TU = I). Nesse caso, o U eh unico e podemos dizer que U eh o inverso de T, o qual eh denotado por T^(-1).
Problema: De um exemplo de um espaco vetorial de dimensao infinita e de um operador linear T neste espaco tal que T tem uma infinidade de inversos a esquerda mas nao tem nenhum inverso a direita.
Um abraco, Claudio.
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
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