Re: [obm-l] fun =?ISO-8859-1?B?5+NvIGNvbnTtbnVhIGVtIGVzcGHnb3Mgbek=?=tricos

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] fun��o cont�nua em espa�os m�tricos

on 01.04.04 20:24, bruno souza at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Demonstrar

Sejam M,N espa�os m�tricos, f,g:M-->N cont�nuas no ponto a pertecente a M. Se f(a) diferente de g(a), ent�o existe uma bola aberta B, de centro a, tal que f(B) e g(B) sejam disjuntos.

Abra�os

Bruno


Como f eh continua, a imagem inversa de um conjunto aberto de N por f eh um conjunto aberto de M. Idem para g.

Seja d a distancia entre f(a) e g(a).
Tome as bolas abertas A1 e A2 de centro em f(a) e g(a), respectivamente, ambas com raio d/2. Isso quer dizer que A1 e A2 sao conjuntos abertos e disjuntos.

Sejam B1 e B2 as imagens inversas de A1 e A2 por f e g, respectivamente.
Como a pertence a B1 e tambem a B2, a pertence a B1 inter B2.

Pela continuidade de f e g, B1 e B2 serao conjuntos abertos.
Logo, B1 inter B2 tambem serah aberto.
Agora eh soh tomar uma bola aberta B de centro em a e contida em B1 inter B2, que existe porque B1 inter B2 eh aberto.

f(B) estah contido em A1 e g(B) estah contido em A2.
Como A1 e A2 sao disjuntos, f(B) e g(B) tambem serao.

[]s,
Claudio.