5. x1, x2, ... , xn are reals > 1 such that |xi - x(i+1)| < 1 for i < n. Show that x1/x2 + x2/x3 + ... + x(n-1)/xn + xn/x1 < 2n-1.
Ninguém fez esse ainda né? Então vamos lá, por indução em n:
- base de indução
Para n=2, temos que provar que x1/x2 + x2/x1 < 3
Podemos assumir wlog que x1 > x2, logo x1-x2 > 0
Sabemos que |x1-x2| < 1 => x1-x2 < 1
Como x2>1, então podemos dividir por x2:
x1/x2 - x2/x2 < 1/x2
x1/x2 - 1 < 1/x2
x1/x2 < 1 + 1/x2 Agora, x2 > 1, logo 1/x2 < 1 e portanto:
x1/x2 < 1 + 1/x2 < 2 [I]Por outro lado, fazendo x1=x2+(x1-x2), e notando que x1>1, podemos dividir por x1 e temos:
x1/x1 = x2/x1 + (x1-x2)/x1
1 = x2/x1 + (x1-x2)/x1
x2/x1 = 1 - (x1-x2)/x1 Como 0 < x1-x2 < 1 e x1 > 1, então
0 < (x1-x2)/x1 < 1/x1 < 1e portanto
x2/x1 = 1 - (algo entre 0 e 1)
x2/x1 < 1 [II]somando [I] e [II]:
x1/x2 + x2/x1 < 3
- passo indutivo
Seja p=x1/x2 + x2/x3 + ... + xn-1/xn + xn/x1
Vamos assumir que p<2n-1 [III]Queremos provar que:
x1/x2 + x2/x3 + ... + xn-1/xn + xn/xn+1 + xn+1/x1 < 2(n+1)-1
Mas isso é igual a provar que
p - xn/x1 + xn/xn+1 + xn+1/x1 < 2n+1 [IV]
Subtraindo [III] de [IV], resta provar que:
(xn+1 - xn)/x1 + xn/xn+1 < 2
Vou quebrar em dois casos:
- - Caso A: xn+1 > xn
Nesse caso 0 < xn+1 - xn < 1, e como x1>1 ,
(xn+1 - xn)/x1 < 1 [V]
Fazendo agora xn+1=xn+(xn+1-xn), e notando que xn+1>1, podemos dividir e ter:
xn+1/xn+1 = xn/xn+1 + (xn+1-xn)/xn+1
1 = xn/xn+1 + (xn+1-xn)/xn+1
xn/xn+1 = 1 - (xn+1-xn)/xn+1 Como 0 < xn+1 - xn < 1, e xn>1 , então
0 < (xn+1-xn)/xn+1 < 1
e portanto xn/xn+1 = 1 - (algo entre 0 e 1)
xn/xn+1 < 1 [VI]Somando [VI] e [V] concluímos que:
(xn+1 - xn)/x1 + xn/xn+1 < 2
- - Caso B: xn > xn+1
Agora -1 < xn+1 - xn < 0, e como x1>1,
-1 < (xn+1 - xn)/x1 < 0 [VII]
Fazendo xn=xn+1+(xn-xn+1), e notando que xn+1>1, podemos dividir e ter:
xn/xn+1 = xn+1/xn+1 + (xn-xn+1)/xn+1
xn/xn+1 = 1 + (xn-xn+1)/xn+1Mas 0<(xn-xn+1)<1 e xn+1>1, então
0 < (xn-xn+1)/xn+1 < 1
e portanto:
xn/xn+1 = 1 + (algo entre 0 e 1)
xn/xn+1 < 2 [VII]Sabemos de [VII] que (xn+1 - xn)/x1 é um negativo, então podemos somá-lo ao primeiro termo de [VII] sem mudar a desigualdade:
(xn+1 - xn)/x1 + xn/xn+1 < 2
... e isso conclui a demonstração.
---------------------------------------------------------------- Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou" ------ União contra o forward - crie suas proprias piadas ------ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
