Oi Cl�udio Se nos considerarmos que o conjunto em questao e subconjunto do R^n, entao acho que suas solucoes estao perfeitas e sao muito bonitas. Eu tenho uma duvida eh no seguinte: num outro problema semelhante que circulou o conjunto X era um espaco metrico geral. Eu naum sei se, nestes casos eh valido dizer que hah um ponto fora de X para o qual converge uma sequencia de X. Eu acho que todo espaco metrico tem um complemento (um espaco metrico completo que o contem como sub-espaco), mas eu estou um tanto confuso com rela��o a este ponto.
Se X eh um conjunto qualquer de objetos e definimos uma metrica em X que nao o faca completo, eh entao verdade que existe um espaco metrico completo contendo X como subespaco? Artur --------- Mensagem Original -------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: Re: [obm-l] envolt�ria convexa e conjuntos compactos Data: 29/04/04 22:32 Oi, Artur e Eduardo: Eu achei esses dois problemas interessantes tambem e tive uma ideia que talvez funcione. Gostaria da opiniao de voces. Problema 2: Suponhamos que X nao seja compacto. Se X nao for limitado, entao acabou, pois X eh homeomorfo a si mesmo. Se X for limitado, entao X nao eh fechado. Logo, vai existir uma sequencia (x(n)) de pontos de X que converge para um ponto "a" fora de X. Considere a funcao F que leva cada ponto x de X num ponto F(x) tal que: i) x, a e F(x) sao colineares, com a entre x e F(x); ii) dist(F(x),a) = 1/dist(x,a). Seja Y = F(X). Entao, F eh um homeomorfismo entre X e Y e, alem disso, Y eh ilimitado, pois dado A > 0, existe N tal que: n > N ==> dist(x(n),a) < 1/A ==> dist(F(x(n)),a) > A Ou seja, se X nao for compacto, entao X eh homeomorfo a um conjunto ilimitado. *** Problema 3: Suponhamos que X nao seja compacto. Se X nao for fechado, entao acabou, pois X eh homeomorfo a si mesmo. Se X for fechado, entao X eh ilimitado. Se X = R^n, entao acabou, pois R^n eh homeomorfo a qualquer bola aberta, a qual nao eh fechada. Se X <> R^n, entao vai existir um ponto "b" que nao pertence a X. Considere a funcao F que leva cada ponto x de X num ponto F(x) tal que: i) x, b e F(x) sao colineares, com b entre x e F(x); ii) dist(F(x),b) = 1/dist(x,b). Seja Y = F(X). Da mesma forma que acima, F eh um homeomorfismo entre X e Y e, alem disso, como X eh ilimitado, para cada eps > 0, existe x em X tal que: dist(x,b) > 1/eps ==> dist(F(x),b) < eps ==> b eh aderente a Y. No entanto, dist(x,b) > 0 ==> dist(F(x),b) > 0 ==> b nao pertence a Y ==> Y nao eh fechado. Ou seja, se X nao eh compacto, entao X eh homeomorfo a um conjunto que nao eh fechado. []s, Claudio. on 29.04.04 15:58, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Hah pouco tempo circularam nesta lista alguns > problemas bem semelhantes ao 2 e ao 3. > Acho que ainda naum foram apresentadas solucoes. Eu > achei que tinha uma mas me enganei. Espero colaborar > dentro de alguns dias, mesmo que, o que eh provavel, a > solucao naum seja minha. > Artur > > > > --- Eduardo Cabral <[EMAIL PROTECTED]> > wrote: >> Gostaria de ajuda nos seguintes problemas: >> >> 1)Dado X c R^n, a envolt?ria convexa de X ? a >> interse??o C(X) de todos os >> subconjuntos convexos de R^n que cont?m X. Prove que >> C(X) ? o conjunto de >> todas as combina??es lineares a_1*x_1+...+a_k*x_k >> tais que x_1,...,x_k >> pertencem a X , a_1>=0, ..., a_k>=0 e a_1+...+a_k=1 >> >> >> 2)Seja X c R^n . Se todo conjunto homeomorfo a X for >> limitado ent?o X ? >> compacto. >> >> 3)Se todo Y c R^n homeomorfo a X for fechado ent?o X >> ? compacto. >> >> valeu >> > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ________________________________________________ OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-v�rus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
