Alguem fez algum progresso nestes dois problemas?
Eureka 18:
Problema Proposto no. 83:
Seja N = {0,1,2,3, ..}.
Determine quantas fun��es de N em N satisfazem:
f(2003) = 2003,
f(n) <= 2003 para todo n <= 2003, e
f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n) , para todo m,n pertence N.
*****
f(f(0)) = f(0 + f(0)) = f(f(0)) + f(0) <=> f(0) = 0
f(m) = f(m + f(0)) = f(f(m)) + f(0) = f(f(m)) para todo m em N.
seja k = f(1), ent�o
k = f(1) = f(f(1)) = f(k)
portanto f(2k) = f(k + k) = f(k + f(k)) = f(f(k)) + f(k) = 2f(k) = 2k
por indu��o vemos que f(j*k) = j*k para todo j >= 0.
seja n = q*k + r, com 0 <= r < k, temos
f(n) = f(r + q*k) = f(r + f(q*k)) = f(f(r)) + f(q*k) = f(r) + q*k
f(1 + qk) = f(1) + qk = (q+1)k
=> f(qk + 1) = f((q+1)k)
f(2 + qk) = f(1 + qk + 1) = f(1 + f((q+1)k)) = f(f(1)) + f((q+1)k) = (q+2)k
e, de forma geral (por indu��o)
f(r + qk) = (q+r)k
ent�o parece que fixando f(1) estamos definindo toda f, vamos ver se
qualquer valor fixado serve:
seja
m = uk + v
n = sk + t
com 0 <= v, t < k
f(m + f(n)) = f(uk + v + (s + t)k) = f((u + s + t)k + v) = (u + s + t + v)k
f(f(m)) + f(n) = f((u+v)k) + (s + t)k = (u + v + s + t)k
ent�o parece que qualquer valor de k serve, mas f(1) <= 2003, ent�o temos
2004 valores para f(1), cada um determinando uma fun��o diferente.
acho que � isso...
=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
