N�o consegui resolver, mas andei um tanto...
Mais abaixo...
----- Original Message -----
From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
Eureka 18:
Problema Proposto no. 83:
Seja N = {0,1,2,3, ..}.
Determine quantas fun��es de N em N satisfazem:
f(2003) = 2003,
f(n) <= 2003 para todo n <= 2003, e
f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n) , para todo m,n pertence N.
*****
Passo a passo, pra n�o ficar imposs�vel de entender.
Afirma��o 1: f(0) = 0
Dem:
f(0 + f(0)) = f(f(0)) + f(0)
f(f(0)) = f(f(0)) + f(0)
0 = f(0)
Afirma��o 2: f(n) = f(f(n)) para todo n natural
Dem:
f(n + f(0)) = f(f(n)) + f(0)
f(n) = f(f(n))
Afirma��o 3: Se f(n) = k para algum k natural , Ent�o f(k)=k
Dem:
f(n) = f(f(n))
f(n) = f(k)
Afirma��o 4: Se f(n) = n para algum n natural, Ent�o f(kn) = kn para todo k
natural
Dem: (indu��o em k)
hipotese: f((k-1)n) = (k-1)n
f(n + f((k-1)n)) = f(n) + f((k-1)n)
f(n + (k-1)n) = n + (k-1)n
f(kn) = kn
Afirma��o 5: f(1) = 0 ou 1 ou 2003
Dem:
Suponha f(1) = b , onde 1 < b < 2003
Ent�o f(b) = b (afir 3)
e tamb�m f(kb) = kb (afir 4)
Seja k o maior inteiro tal que kb < 2003
f(1 + f(kb)) = f(1) + f(kb)
f(1 + kb) = b + kb > 2003 (absurdo)
Afirma��o 6: Se f(1) = 1 , ent�o f(n) = n para todo n
Dem: Decorre diretamente da afirma��o 4.
Suspeito que as outras possibilidades s�o arranjos de 0�s e 2003�s , o que
dariam mais umas 2^2002 fun�oes, mas t� tarde e eu tenho uma prova pra fazer
amanh� de manh� e a cabe�a t� pifando. (al�m do que, acaba de chegar um mail
do Domingos, vou olhar a solu��o dele e matar a curiosidade...)
Sauda��es
Will
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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