Prove or disprove: If X, Y, and Z are random variables
with the property
that all three pairs (X, Y), (X, Z) and (Y, Z) are
independent, then X + Y
is independent of Z.
--- x ---
Bayes: Pr[A|B].Pr[B] = Pr[A e B]
Suponha que Pr[Z=z] > 0,
Pr[X + Y = k | Z = z] = Soma_{j = -oo, +oo} Pr[X = j e Y = k - j | Z = z]
...Usando Bayes, temos
= Soma_{j = -oo, +oo} Pr[X = j e Y = k - j e Z = z]/Pr[Z=z]
...usando independ�ncia dos 3 pares
= Soma_{j = -oo, +oo} Pr[X = j]Pr[Y = k - j].Pr[Z = z]/Pr[Z=z] =
= Soma_{j = -oo, +oo} Pr[X = j]Pr[Y = k - j] = Pr[X + Y = k]
Pr[X + Y = k | Z = z] = Pr[X + Y = k],
X+Y � independente de Z.
PS: Note que se Pr[Z=z] = 0, n�o faz muito sentido em condicionar a
probabilidade no evento Z=z que nunca ocorre.
PS2: Se X, Y s�o cont�nuas troque Soma por Integral e Pr pela fun��o
densidade das vari�veis, acho que n�o preciso fazer uma demonstra��o a
parte, n�?
[ ]'s
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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