Andre Silveira Ramos wrote:
Aí pessoal, estou com alguns problemas de combinatória que não estou conseguindo sair do lugar.
Preciso de algumas dicas....
(i) Considere um conjunto P de 30 pontos do espaço e P1 um subconjunto de 12 pontos coplanares de P. Sabe-se que sempre que 4 pontos de P são coplanares, então eles são pontos de P1. Quantos são os planos que contém pelo menos 3 pontos de P?
Tome x pertencente a P \ P1.
Note que x não pode ser coplanar com os pontos de P1 pois se fosse qualquer escolha de 3 elementos de P1 e o elemento x formariam um conjunto de 4 pontos coplanares que não está contido em P1.
Para cada par de elementos distintos {y, z} de P1 o conjunto {x, y, z} determina um plano. Como x não pertence ao plano de P1 não pode haver um outro ponto de P no plano determinado por {x, y, z}. Como isso vale para cada x escolhido e para cada par {y, z}, o total de planos é dado pelo nr. de opções para x vezes o nr. de pares de pontos de P1 + o nr. de planos formados por 3 pontos fora de P1 (cada tripla deve determinar um plano diferente) + 1 (o próprio plano dos pontos de P1), ou seja
18 * Binomial(12, 2) + Binomial(18, 3) + 1
<>(iv) Calcular a soma de todos os números de 5 algarismos distintos formados com os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9.
esses números são todas as permutações de 13579, podemos quebrar a soma desses números em somas das unidades, das dezenas, centenas...
quantos números tem 1 como unidade? claramente, temos 4! maneiras de escolher os demais algarismos... e isso também vale para as outros valores das unidades e também para as posições mais significativas dos números, então temos
4! (1 + 10 + 100 + 1000 + 10000) (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = .
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
