Esta sequencia que estamos discutindo pode ser generalizada, conforme um dos colegas afirmou. Sendo a>=0, definamos x[1] = raiz(a) x[n+1] = raiz(a+x[n])
Para todo u>=0, raiz(a+u) >=u <-> a+u > u^2. Desta inequacao do 2o grau, resulta que raiz(a+u) >= u <-> 0<= u <= r =(1+raiz(1+4a))/2. Temos que r = 1/2 +(1/2)(raiz(1+4a)), o que, pela desigualdade de Bernouille, implica que r >= 1/2 + (1/2)(1+2a) = 1+a. Se 0<=a<=1, entao raiz(a) <= 1 <= 1 + a Se a>1, entao raiz(a) < a < 1+a, de modo que raiz(a) <= 1+a para todo a>=0. Logo x[1]<=1+a Se x[n]<=1+a para algum n, entao x[n+1] =raiz(a+x[n]) <= raiz(1+2a) <= 1+(2a/2) = 1+a, pela desigualdade de Bernouille. Logo x[n] eh limitada superiormente por 1+a. E como x[n] <=1+a <= r para todo n, temos, conforme vimos, que x[n+1] = raiz(a+x[n]) >= x[n], o que mostra que x[n] eh monotonicamente crescente. Logo, x[n] converge para a raiz postiva de raiz(a+u) =u, que jah vimos que eh r =(1+raiz(1+4a))/2. Se a<0, temos uma interessante sequencia complexa. Serah que converge? Artur ________________________________________________ OPEN Internet e Inform�tica @ Primeiro provedor do DF com anti-v�rus no servidor de e-mails @ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
