Nicolau C. Saldanha wrote:
On Wed, Oct 20, 2004 at 06:46:41PM -0300, Domingos Jr. wrote:para concluir, então... existem mais conjuntos Lebesgue-mensuráveis do que conjuntos não-Lebesgue-mensuráveis?
Depois de falar com um professor meu do IME eu acho que entendi no que eu errei. Já vou avisando para ter paciência já que meus conhecimentos sobre integral de Lebesgue tem medida nula...
Não entendi. Se f é uma função bem comportada no IR^2, porque ela não seria integrável? Pelo pouco que eu li, qualquer função contínua nos reais (usando a medida de Lebesgue) é integravel.
Em que sentido f seria bem comportada? Ela certamente não é contínua.
Inicialmente eu pensei em definir f(x, y) para todo R^2. Algo como f(x, y) = exp{-x^2 - y^2} que é positiva para todo x, y e tem volume finito (por sinal, o volume sobre todo R^2 é PI!). Sem dúvida f é bem comportada. A idéia então era integrar uma função bem comportada num conjunto muito mal comportado! Eu achava que com integrais de Lebesgue isso seria sempre possível, mas talvez meu argumento falhe pois só depois que esse meu professor falou que eu percebi que é necessario que o conjunto seja mensurável para que eu aplique a minha idéia. Parece então que se A é mensurável então A não pode satisfazer as características enunciadas e isso pode ser demonstrado pelo meu argumento da integral, certo?
Correto: o seu argumento prova que não existe um conjunto A Lebesgue-mensurável satisfazendo as condições do problema.
e quanto ao problema 5 da OBM? eu acho que consegui demonstrar que o limite ficava entre duas constantes para qualquer valor de m... talvez eu tenha errado um pouco na minha estimativa por que o limite ficou entre 2 e 4 e eu acho que na verdade 2 é o máximo que o limite assume (será que 2 é sempre o limite?!), mas isso deve ter sido algum erro de conta mesmo.
Exatamente: não faz sentido integrar *nenhuma* função sobre um domínio que não seja mensurável.
[]s, N.
ok!
[ ]'s ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
