On Thu, Mar 17, 2005 at 01:21:57PM +0000, Paulo Santa Rita wrote: > Ola carissimo Prof Nicolau e demais > colegas desta lista ... OBM-L, > > Complementando a mensagem, talvez nem todos saibam que a prova do Teorema > abaixo foi a tese de doutorado do Gauss e contribui poderosamente para que > os numeros complexos fossem aceitos com maior tranquilidade pelos > matematicos de entao. > > Gauss apresentou outras provas deste teorema, sempre pretendendo chegar a > uma prova puramente algebrica mas nao teve sucesso. Hoje muitos supoe que > esta notavel propriedade depende fundamentalmente de consideracoes > topologicas e portanto a pretensao de Gauss era realmente inatingivel.
Eu j� ouvi v�rias vezes afirma��es como esta e eu n�o sei exatamente como interpretar. H� pelo menos tr�s interpreta��es: de acordo com a primeira, � trivialmente verdadeira; de acordo com a segunda, � falsa; de acordo com a terceira, esta � uma opini�o defens�vel. Se listarmos os axiomas para os n�meros reais, sempre existe um axioma de natureza n�o alg�brica, geralmente chamado o axioma do supremo. A primeira interpreta��o diz que este axioma � necess�rio para demonstrar o TFA. � verdade e � trivial: o conjunto Q dos racionais satisfaz os outros axiomas usuais dos reais mas Q[i] n�o � algebricamente fechado. A segunda interpreta��o aceita o que dissemos acima, mas diz que a prova � *inevitavelmente* de car�ter muito mais topol�gico ou anal�tico do que algebrico, ou que a prova usa *inevitavelmente* topologia ou an�lise muito mais avan�adas do que o axioma do supremo. Isto � falso: Gauss mesmo deu uma prova do TFA que pode ser traduzida em linguagem moderna como abaixo. Seja K um corpo ordenado com as seguintes propriedades: (a) Todo elemento positivo de K tem raiz quadrada em K; (b) Todo polin�mio de grau �mpar com coeficientes em K tem raiz em K. Ent�o K[i] � algebricamente fechado. Este � um teorema puramente alg�brico, tanto no enunciado quanto na demonstra��o. As propriedades (a) e (b) para K = R podem ser consideradas axiomas (n�o t�o usuais) de car�ter alg�brico. Sob outro ponto de vista, podemos demonstrar (a) e (b) a partir dos axiomas usuais, e a coisa mais sofisticada que aparece � o Teorema do Valor Intermedi�rio. A terceira interpreta��o diz que as provas mais interessantes do TFA s�o de natureza topol�gica ou anal�tica. Ou seja, quem diz isso n�o gosta particularmente da trilha proposta acima. Esta � uma opini�o defens�vel: as provas topol�gicas ou anal�ticas s�o, de acordo com a opini�o da maioria dos matem�ticos, bastante interessantes. Elas s�o tamb�m mais conhecidas do que a prova "alg�brica". Claro que podem existir ainda outras interpreta��es, mas eu n�o sei quais seriam. []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
