| De: | [EMAIL PROTECTED] |
| Para: | [email protected] |
| C�pia: |
| Data: | Tue, 29 Mar 2005 08:44:28 -0300 |
| Assunto: | [obm-l] Principio das Gavetas |
> Bom dia, pessoal!
>
> Gostaria de conferir uma solu��o do seguinte problema: "Mostre que
> existe um m�ltiplo de 1997 que possui todos os d�gitos iguais a 1"
>
> Usando o princ�pio das gavetas � poss�vel mostrar que todo n�mero
> natural possui um m�ltiplo que se escreve usando apenas os d�gitos 0 e
> 1, de modo que haja uma seq��ncia de /p/ 1's seguida de /q/ 0's.
>
> Seja N = 111...1000...0 um m�ltiplo de 1997. Como N = (111...1) *
> (10^/q/) e 1997 n�o divide 10^/q, /conclui-se que 1997 divide 111...1.
>
> T� tudo Ok?
>
Pra mim, est�.
Uma demonstra��o alternativa usa o teorema de Euler e leva em conta que mdc(1997,10) = mdc(1997,9) = 1.
Nesse caso, pondo k = Phi(1997), teremos 10^k == 1 (mod 1997) ==>
1997 | 10^k - 1 = 999....999 (k algarismos 9) = 9*111...111.
Como 1997 � primo com 9, conclu�mos que 1997 | 111...111.
> Aproveitando a oportunidade, gostaria de uma sugest�o no problema
> seguinte: "Prove que em qualquer seq��ncia de 39 n�meros naturais
> consecutivos existe ao menos um n�mero cuja soma dos algarismos �
> divis�vel por 11."
>
Esse parece interessante. Acho que vale a pena fazer umas simula��es no Excel pra ver se voc� acha alguma periodicidade ou lei de forma��o. Se eu achar alguma coisa te falo.
[]s,
Claudio.
