De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Tue, 29 Mar 2005 08:44:28 -0300
Assunto: [obm-l] Principio das Gavetas
> Bom dia, pessoal!
>
> Gostaria de conferir uma solução do seguinte problema: "Mostre que
> existe um múltiplo de 1997 que possui todos os dígitos iguais a 1"
>
> Usando o princípio das gavetas é possível mostrar que todo número
> natural possui um múltiplo que se escreve usando apenas os dígitos 0 e
> 1, de modo que haja uma seqüência de /p/ 1's seguida de /q/ 0's.
>
> Seja N = 111...1000...0 um múltiplo de 1997. Como N = (111...1) *
> (10^/q/) e 1997 não divide 10^/q, /conclui-se que 1997 divide 111...1.
>
> Tá tudo Ok?
>
Pra mim, está.
 
Uma demonstração alternativa usa o teorema de Euler e leva em conta que mdc(1997,10) = mdc(1997,9) = 1.
Nesse caso, pondo k = Phi(1997), teremos 10^k == 1 (mod 1997) ==>
1997 | 10^k - 1 = 999....999  (k algarismos 9) = 9*111...111.
Como 1997 é primo com 9, concluímos que 1997 | 111...111.
 
 
> Aproveitando a oportunidade, gostaria de uma sugestão no problema
> seguinte: "Prove que em qualquer seqüência de 39 números naturais
> consecutivos existe ao menos um número cuja soma dos algarismos é
> divisível por 11."
>
Esse parece interessante. Acho que vale a pena fazer umas simulações no Excel pra ver se você acha alguma periodicidade ou lei de formação. Se eu achar alguma coisa te falo.
 
[]s,
Claudio.
 

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