>Meu caro Ronaldo,
>acho que seu argumento que f � uma contra��o na bola
>B(0,1) n�o est� correta, pois n�o por enquanto n�o
>temos uma constante 0 <= k < 1 tal que ||f(x) - f(y)||
><= k.||x - y||. Apesar de mesmo aceitando esse
>hip�tese, tamb�m n�o fiquei convensido que ela
>injetiva e n�o adimite inversa diferenci�vel!!
>Sem mais.
Acho que voc� como matem�tico est� certo em
julgamento. De fato, matem�ticos querem
sempre coisas precisas. A intui��o ajuda muito
mas n�o convence :)
Deixa-me tentar novamente:
Acredito que a constante k pode ser obtida pela
desigualdade triangular.
||f(x) + (- f(y))|| <= ||f(x)|| + ||-f(y)|| = ||<x,x>x|| +
||<y,y>y|| = ||x||^2.||x|| + ||y||^2.||y|| = ||x||^3 + ||y||^3
como ||x||<1 e ||y|| < 1, ent�o ||x||^3+||y||^3 < ||x||+||y||
<||x|| - ||y|| (pois a norma � sempre positiva).
ent�o qualquer 0 <= k < 1 satisfaz a desigualdade.
Est� certo?
Falta tempo para eu examinar melhor as
id�ias (e talvez tamb�m compet�ncia minha,
para firm�-las).
[]s e sauda��es.
--- Ronaldo Luiz Alonso
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> ---------------------
> 2) Seja f: R^n --> R^n dada por f(x) = <x,x>.x.
> Mostre que f � de classe C infinito e que leva a
> bola unit�ria B(0;1) sobre si mesma injetivamente.
> Mostre que, entretanto, a aplica��o inversa n�o �
> diferenci�vel na origem.
>
> Neste caso se x \in B(0;1) ent�o <x,x> = ||x|| e
> 0<||x|| < 1. Logo a aplica��o � uma contra��o de
> x.
> A contra��o � diferenci�vel e de classe
> C^{\infty}.
> � mais ou menos intuitivo que neste caso a aplia��o
> seja
> injetiva. Por exemplo: Vetores pr�ximos da
> fronteira
> tem norma 1 e portanto ser�o "pouco contra�dos".
> Assim a demonstra��o de injetividade usa esse
> fato,
> isto �, se tomarmos um ponto x pr�ximo pr�ximo da
> fronteira, podemos sempre escolher um f^{-1}(x) tal
> que f composto com f^{-1}(x) = x e vice versa.
> Como ||x|| � sempre menor que 1
> esses pontos tem que ser diferentes.
> Para entender por que a aplica��o n�o �
> diferenci�vel
> na origem basta notar que "quanto mais perto o vetor
> estiver da origem mais contra�do ser�" na aplica��o
> direta.
> (reciprocamente na aplica��o inversa mais
> expandido
> ser�). A origem � uma esp�cie de "buraco
> negro ao contr�rio" logo n�o pode ter derivada
> l�. Argumentos do teorema de fun��o impl�cita podem
> ajudar.
> Novamente sem rigor... apenas com id�ias.
>
> []s Ronaldo L. Alonso
>
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