Algu�m da lista gosta de c�lculo num�rico? Este problema do Cl�udio e uma mensagem anterior do Filipe Junqueira, que se relacionava a equa��o cos(x) = x, parecem sugerir um algoritmo para solu��o num�rica de alguns tipos muito particulares de equa��es.
Recapitulando, o caso s�o sequ�ncias na forma: x[1] = k e x[n+1] = f(x[n]) Em geral, sse a sequ�ncia convergir, isto vai ocorrer com x[n] tendendo a um valor tal que f(x[n]) = x[n]. Claro que o problema todo � determinar em que condi��es a sequ�ncia vai convergir, o que em geral � complicado. Um racioc�nio (bastante) simplificado me parece o seguinte: Seja uma equa��o do tipo f(x) - x = 0 com uma raiz Xr. Seja uma sequ�ncia tal que x[1] = k; x[n+1] = f(x[n]) O valor inicial da sequ�ncia(estimativa inicial para Xr) � arbitr�rio, de forma que k = Xr + A, onde A � o erro na estimativa inicial. Assim: x[2] = f(k) = f(Xr+A) = Xr + B; x[3] = f(Xr+B) = Xr + C; ... B � o erro no segundo passo, C no terceiro, etc... Para simplificar o racioc�nio, vamos impor a pesada condi��o de que em todo o intervalo [Xr-A, Xr+A], |df(x)/dx| < 1, isto �, o m�dulo da derivada de f(x) � menor que 1 no intervalo entre a raiz procurada e o erro na estimativa inicial. Acho que esta condi��o garante a converg�ncia, pois neste caso sempre teremos A>B>C.... � verdade que as restri��es s�o t�o fortes que provavelmente isso n�o conduz a nada �til. Mesmo assim eu peguei um compilador C e botei umas equa��es em loop para gerar sequ�ncias nesta forma. Funcionou em alguns casos. claro, s� para equa��es convenientemente escolhidas, em intervalos onde |df(x)/dx| < 1. Por exemplo: cos(sin(sin(cos((x^2)/10)))) -x^3 +.4*x^2 +.1*x = x; k = x[1] = 1/2; x[100] = 0.67622814889611 sin(sin(cos(log((x^2)/10)))) +.5*x^3 -.1*cos(x^2) = x; k = x[1] = 1/2; x[100] = -1.25555334286300 De fato parece algo t�o restrito que dificilmente seria �til, talvez como curiosidade. Algu�m que conhe�a c�lculo num�rico sabe se alguma varia��o deste tipo de algoritmo � usada em sol. num�ricas? []�s Dem�trio --- Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Deixa eu ver se n�o me atrapalho... > > Se a(n) converge, significa que, para um n > suficientemente grande, a(n+1) = a(n) = k. > Isto �: x^a(n)=a(n) => x^k=k > > Assim: > x^k = k > k*ln(x) = ln(k) => ln(x) = ln(k)/k > > Sabemos que para um x muito grande a sequ�ncia > diverge, ent�o a pergunta �: qual � o maior x > poss�vel? > Pelo racioc�nio anterior sabemos que x deve obedecer > a > rela��o ln(x) = ln(k)/k, onde k � o valor para onde > a > sequencia converge. Podemos usar esta express�o para > procurar o valor m�ximo de x porque a fun��o ln(x) � > mon�tona e crescente para qq x positivo. Em outras > palavras: o valor m�ximo de ln(x) corresponde tamb�m > ao valor m�ximo de x. > > Assim: > y = ln(x) = ln(k)/k . Buscamos o m�ximo de y(k) = > ln(k)/k : > > dy/dk = 1/x^2 - ln(x)/x^2 = 0 => 1/x^2 - ln(x)/x^2 > => > ln(k) = 1 => k = e > > Para determinar x, temos: > y_max=ln(x_max)=ln(e)/e = 1/e > ln(x_max) = 1/e => x_max = e^(1/e) > > Ou seja: x_max = e^(1/e) e a sequencia converge, > neste > caso, para k=e. > > Ser� que � isso? > > []�s > > Dem�trio > > --- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> > escreveu: > > Esse tamb�m � um belo problema: > > > > Prove que se a(1) = x > 0 e a(n+1) = x^a(n), para > n > > >= 1, ent�o a sequ�ncia ((a(n)) converge se e > > somente se x <= e^(1/e). > > > > []s, > > Claudio. > > > > De:[EMAIL PROTECTED] > > > > Para:[email protected] > > > > C�pia: > > > > Data:Wed, 18 May 2005 00:53:25 +0000 > > > > Assunto:Re:[obm-l] Transcendentes - forma > > definitiva. > > > > > Oi Claudio e demais colegas > > > desta lista ... OBM-L, > > > > > > Resposta correta. > > > > > > Em linhas gerais, a historia do problema e a > > seguinte : alguem resolveu um > > > problema mostrando que haviam duas respostas > > possiveis, uma das quais > > > deveria ser falsa. Uma estudante reclamou > querendo > > saber a opcao correta. Eu > > > invoquei o teorema do Gelfond e identifiquei a > > resposta correta : > > > > > > Gelfond => raiz(2)^raiz(2) e transcendente => e > > irracional > > > > > > E entao resolvi construir explicitamente uma > > sequencia de numeros > > > transcendentes que tinha como limite um numero > > natural. Aqui entrou o GUGU, > > > reclamando que mesmo nao sabendo provar a > > transcendencia, nao haviam > > > hipoteses suficientes para postular tal > > transcendencia. A reclamacao dele, > > > correta e justificavel, era implicitamente a > > proposicao de um problema : > > > este problema abaixo, onde voce ensaia uma > solucao > > ... > > > > > > Voce faz a observacao basica e fundamental : > > fixando a "base", o restante ( > > > o expoente ) tende para o mesmo limite. Dai, na > > sua linguagem, r=t^r. Daqui > > > sai tranquilo o resto. Note que se voce faz uma > > tal passagem perante algumas > > > assembleias que amam o detalhe, muito > > provavelmente voce sera linchado e > > > execrado... Eu sempre achei notavel a capacidade > > de algumas pessoas de > > > essencializar > > > o trivial e trivializar o essencial. Mas elas > > existem. E sao muitas ! > > > > > > Note tambem que o pulo logico final precisa ser > > conectado com o "e" as > > > demais hipoteses. > > > > > > Quer descobrir algo que vai lhe surpreender ? > > Mantenha do lado esquerdo do > > > cerebro o numero e=2,71... Com o lado direito > > estude as sequencias da forma > > > X^X^X^... QUE CONVERGEM. Procure descobrir algo > > equivalente a um "raio de > > > convergencia". > > > > > > E com os melhores votos > > > de paz profunda, sou > > > > > > Paulo Santa Rita > > > 3,2154,170505 > > > > > > >From: "claudio.buffara" > > > >Reply-To: [email protected] > > > >To: "obm-l" > > > >Subject: Re:[obm-l] Transcendentes - forma > > definitiva. > > > >Date: Tue, 17 May 2005 13:47:18 -0300 > > > > > > > > > Ola Pessoal desta > > > > > lista ... OBM-L, > > > > > > > > > > Esse problema e antigo, bonito e foi > proposto > > aqui nesta lista - se nao > > > >me > > > > > falha a memoria - pelo Prof Carlos Gustavo > > (GUGU), em uma forma menos > > > >geral. > > > > > Peco desculpas a todos por tantas correcoes. > > > > > > > > > > Seja T um transcendente da forma i^i, onde i > e > > um irracional algebrico. > > > > > Definimos a sequencia : > > > > > > > > > > A(1) = T > > > > > A(N+1) = T^A(N) > > > > > > > > > > Se LIM A(N)=r, r racional, Considere a > > afirmacao : "Existe N, N > > > > > suficientemente grande, tal que A(N) e > > algebrico". Voce consegue provar > > > >ou > > > > > refutar esta afirmacao ? Note que nao e > > possivel aplicar, DIRETAMENTE, o > > > > > teorema de Gelfond. > > > > > > > > > > Um Abraco a Todos > > > > > Paulo Santa Rita > > > > > 3,1242,170505 > > > > > > > > > > > > > >Oi, Paulo: > > > > > > > >Se lim A(n) existe e � igual ao racional r, > ent�o > > lim A(n+1) = r. > > > >Portanto, teremos: r = t^r ==> > > > >t = r^(1/r) = alg�brico ==> > > > >contradi��o, pois estamos supondo que t � > > transcendente. > > > > > > > >Logo, ou lim A(n) n�o existe ou existe mas � > > irracional. > > > > > > > >Assim, a senten�a: > > > >lim A(n) � racional ==> A(N) � alg�brico para > > algum N suficientemente > > > >grande > > > >� verdadeira, j� que a sua premissa � falsa. > > > > > > > >Era isso o que voc� tinha em mente? > > > > > > > >[]s, > > > >Claudio. > > > > > > > __________________________________________________ > === message truncated === __________________________________________________ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! 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