Ola Salhab e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
From: "Salhab \[ k4ss \]" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [email protected]
To: "obm-l" <[email protected]>
Subject: Re:[obm-l] Tres Problemas Olimpicos
Date: Thu, 27 Apr 2006 01:33:24 -0300
Olá,
2) Queremos que ambas as raizes estejam entre 0 e 1.
Como A > 0, e, fazendo f(x) = Ax^2 + Bx + C, temos que ter:
f(0) > 0, pois, se f(0) <= 0, ou 0 é raiz, ou 0 esta entre as raizes.. como
nenhum dos 2 eh permitido, f(0) > 0.
assim: C > 0
ok.. tambem queremos: f(1) > 0.. pelos mesmos argumentos do f(0).
assim: A + B + C > 0 .. A > - (B+C)
Ate aqui tudo bem.
agora, queremos que o valor de x que da o minimo da funcao esteja entre 0 e
1.. logo:
0 < -B/(2A) < 1
Considere a funcao : Y =X^2 - X - 2. Temos que 0 < -B/2A = 1/2 < 1 e,
entretanto, as raizes sao -1 e 2, ou seja, a suposicao 0 < -B/2A < 1 nao e
suficiente ... Voce deve ACRESCENTAR as corretas conclusoes anteriores :
B^2 - 4AC > 0 ( existem duas raizes reais)
vamos analisar os 2 casos:
-B/(2A) > 0 ... B/A < 0 .. isto é: B e A tem sinais opostos
-B/(2A) < 1 ... B/A > -2
vamos analisar 2 casos:
(i) B > 0 .. entao A < 0:
B/A > -2 .. B < -2A .. A < -B/2
assim: -(B+C) < A < -B/2
(ii) B < 0 .. entao A > 0:
B/A > -2 .. B > -2A .. A > -B/2
assim: A > -B/2 e A > - (B+C)
logo A > max ( -B/2 ; -(B+C) )
Como neste ponto voce ja sabia que A > 0, as implicacoes do caso (i)
deveriam ter sido rejeitadas.
deste modo, os possiveis valores de A estao determinados para que as
condicoes do problema sejam sempre satisfeitas..
para obtermos o menor valor de A, teriamos que aceitar que as raizes fossem
0 e 1.
Nao e necessario aceitar que as raizes sejam 0 e 1. A analise previa deve
chegar a :
A > 0 ; f(0) > 0 ; f(1) > 0
0 < -B/2A < 1
B^2 - 4AC > 0
neste caso, teriamos a seguinte resposta:
se C > 0 e B > 0, o menor valor de A é: - (B+C)
se C > 0 B < 0, o menor valor de A é: max ( -B/2 ; -(B+C) )
se C < 0, impossivel satisfazer as condicoes do enunciado
abracos,
Salhab
E importante registrar as linhas mestras do raciocinio que voce descobriu
sao boas.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,1225,270406
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