Essa série infinita é um exemplo da função zeta de Riemann, nesse caso zeta de 2.
Tentarei simplificar a solução de Euler:
primeiramente observe que a série é claramente convergente, portanto possui um resultado definido.
olhando para senx
senx = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ....+ que é obtida pela série de Mauclarin, ou série de Taylor em torno do ponto 0.
Vc sabe que as raízes dessa função são x=Kpi, k E Z, ou seja,
x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ....+ = 0 para x=Kpi
dividindo o polinômio por x, obtemos
1 - x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! + ....+ = 0
utilizando relações de Girard, note que
1/3! = 1/(x1)^2 + 1/(x2)^2 + 1/(x3)^2 + ....+
em que x1, x2, x3.....são raízes do polinômio, ou seja
1/6 = 1/(pi)^2 + 1/(2pi)^2 + 1/(3pi)^2 +....+
colocando 1/pi^2 em evidência e transpondo para o lado direito:
pi^2/6
= 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + .....+
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Essa é bem chatinha.
A soma da algo como 1/6*\pi^2
Me lembro de um artigo de Robin Chapman que tem umas 10 demonstrações. Acho que o nome é "Evaluating \zeta(2)"
Vou dar uma caçada no Google e ver o que dá.
Em 15/06/06, bruno silva santos <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:essa e um pouco dificil. alguem poderia me dar uma ajuda pra calcular o
limite da soma dos inversos dos quadrados dos naturais ate o infinito,
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