On Wed, Nov 01, 2006 at 07:33:36AM -0800, Artur Costa Steiner wrote: > A demonstração do fato citado a seguir é, a primeira vista, muito simples (e > talvez seja mesmo): > > Suponhamos que f:I->R seja diferenciavel em um intervalo aberto I de R. > Existe, então, um subintervalo de I no qual f eh Lipschitz.
Ok, é verdade sim, e bem mais fácil do que eu pensava. Suponha por absurdo que f não seja Lipschitz em nenhum intervalo. Tome a_0 < b_0, b_0 - a_0 < 2^0, tais que |f(b_0) - f(a_0)| > 2^0 (b_0 - a_0). Como f não é Lipschitz em nenhum intervalo, tome a_0 < a_1 < b_1 < b_0, b_1 - a_1 < 2^(-1), tais que |f(b_1) - f(a_1)| > 2^1 (b_1 - a_1) e assim sucessivamente a_0 < a_1 < a_2 < ... < a_n < ... < b_n < ... < b_2 < b_1 < b_0, com |f(b_n) - f(a_n)| > 2^n (b_n - a_n), b_n - a_n < 2^(-n). Tome x = lim a_n = lim b_n. É fácil provar que f não é derivável em x. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================