-----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Artur Costa Steiner Enviada em: segunda-feira, 9 de abril de 2007 10:02 Para: [email protected] Temos, para todo r>0, que a funcao f(x) = 1/(x*(Log(x)^r)) eh positiva e montonicamente decrescente em [e^(-r) , oo). (pode checar determinando a derivada). Assim, o teste da integral eh aplicavel.
Se ha I = Int (2 a oo) 1/(x*(Log(x)^r))dx = Int (2 a oo) (1/x)* (Log(x))^(-r))dx Se r<>1, r>0, entao I = [-1/(-r + 1) * (Log(x))^(-r + 1)] (2 a oo). Para nossos objetivos, soh interssa o limite desta funcao quando x -> oo. Se 0 < r <1, entao - r+ 1 >0 e a integral vai para infinito. Logo, a serie tambem diverge, indo para oo. Se r >1, -r + 1 <0 e como Log(x) -> oo, (Log(x))^(-r + 1) -> 0, der modo que a integral e a serie convergem. Se r= 1, entao nossa integral eh simplesmente I = Log(Log(x) [2 a oo) que diverge. Conclusao: se 0 < r <=1, a serie diverge se r > 1, a serie converge. Abracos Artur -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Arlane Manoel S Silva Enviada em: sábado, 7 de abril de 2007 14:14 Para: [email protected] Assunto: Re: [obm-l] séries numéricas Olá Cláudio. Pode haver uma outra forma, mas eu usaria o critério da integral. seja bem-vindo. Citando Claudio Gustavo <[EMAIL PROTECTED]>: > Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta > lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito > de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. > Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n > diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. > Obrigado. > > __________________________________________________ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ -- Arlan Silva ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
