Acho que a forma mais prática e fácil de convencer é mesmo plotando o gráfico :) Mas posso pensar em algo melhor.
Ronaldo Claudio Gustavo wrote: > Na verdade nem me preocupei se 1 é o único ponto fixo, pois o > exercício pede para analisar apenas as imagens 2 e 4, pois acharíamos > como abscissa para as duas o mesmo ponto, 2^(1/2). Tente resolver a > questão para x^x^x^x^... = n. O resultado é n^(1/n). Mas essa função > tem valor máximo para 3^(1/3) e f(x) é injetiva, logo... A pergunta > é: Vc tem uma idéia diferente da que eu postei inicialmente para > demonstrar que a imagem 4 é absurda? Pois se eu fosse aluno, eu não me > convenceria muito com essa solução que dei... Existe alguam solução > mais "paupável"? Mais "concreta" e menos "abstrata"? > > ralonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Olá Cláudio. So algumas observações. > > Veja que se x = 2 , então > x^x = 4 > x^x^x = 2^4 = 16 > x^x^x^x = 2^16 = 65536 > x^x^x^x^x^... -> oo > > deve acontecer o mesmo para x> 2, certo? > Pegue outro número, um pouco menor, > digamos x = 1,02. Pelas > poucas contas que fiz parece que a função também > cresce sem limite, embora de forma mais lenta. > Ainda não analisei nada com rigor. Mas não > é dificil fazer um programa no MATLAB ou Matematica > que plote essa função. > > Para x = 1 temos um ponto fixo: f(x) = x. Mas a função > parece ter infinitos pontos fixos, > porque f(x^x^x^x^x^ ...) = x^x^x^x^x^... > > A pergunta é 1 é o único ponto fixo? > > > Claudio Gustavo wrote: > > > Chamei de função potencial (não sei se posso chamá-la > assim, mas > > fiz...) de x a função x^x^x^x^x^...(x elevado a x elevado > a x elevado > > a x ...). Como posso demonstrar que, sendo essa a f(x), a > função não > > pode ter como imagens 2 e 4? Pois para as duas imagens > encontramos x = > > 2^(1/2), mas daí concluímos que 2 = 4!!! Vou colocar a > minha solução. > > Mas gostaria de saber se existem outras considerações e se > o que > > pensei está correto. Primeiro, pode-se demonstrar que a > função é > > injetiva (fazendo f(a)=f(b), então a=b) e crescente > (fazendo f(x+1) > > maior que f(x)), para o intervalo de x positivo e maior > que 1, que é o > > caso, logo é monótona crescente para o intervalo > considerado. > > Considerando apenas as imagens naturais, ou seja, f(x)=n, > encontramos > > como solução geral x = n^(1/n). Sabe-se que essa função é > crescente > > até n = 3 e, a partir daí, ela é decrescente e com limite > 1 (logo > > obedece a condição de x positivo e maior que 1). Como a > função f(x) no > > dado intervalo é monótona crescente, para uma abscissa > maior teremos > > uma imagem maior. Portanto a maior imagem possível, para > valores > > naturais, é para quando x = 3^(1/3), logo f(3^(1/3)) = 3. > Então a > > função nunca atingirá a imagem igual a > > 4.__________________________________________________ > > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > > http://br.messenger.yahoo.com/ > > ================================ > ======================================== > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a > lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > =================================================== > ===================== > > __________________________________________________ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/
