Olá Cláudio.
Essa expressão que você encontrou, n^(1/n) para a inversa
de f(n) só é válida para 0<n<=1, pelas considerações feitas
por mim e pelo Sallab.
Veja que não estamos mais analisando n real e não n natural,
pois já vimos que n^n^n^... diverge e não tem limite para n>1 e
que não existe para n = 0.
Você deve ter feito o seguinte (considerando agora x real):
x^x^x^x^... = n = f(x)
x^(x^x^x^x^...) = n
ln (x^(x^x^x^x^...)) = ln n
( x^x^x^...)* ln(x) = ln n
n * ln(x) = ln n
ln (x) = (ln n)/n
x = e^((ln n)/n)
x = e^( (ln n)* (1/n) )
= (e^( (ln n) ) ) ^(1/n)
(justificativa m ^(p*q) = (m^p)^q) )
= n ^(1/n)
logo se f(x) = x^x^x^... então
f(n^(1/n)) = n (porque f(x) = n)
O que deve estar te confundindo é que
n^(1/n) é a inversa de f(n), (basta
trocar x por n para ver isso) pois
a inversa tem a propriedade que
f( f^(-1) (n) ) = n
então comparando as duas expressões:
f( f^(-1) (n) ) = n e
f ( n^(1/n) ) = n
então
f^(-1) (n) = n^(1/n) , pois f injetiva, conforme
você afirma.
Troque agora n por x e temos
f^(-1) (x) = x^(1/x)
Claro que esta expressão f^(-1) só é valida tomando-se como domínio
a imagem da função f (x), que como vimos é (0,1].
Bom. Peço humildemente aos membros da lista que corrijam as
possíveis
besteiras que eu possa ter dito. Neste caso é lógico que a função
x^x^x^x^...
nunca atingirá o valor 3, nos naturais pois seu valor máximo é 1
quando x = 1 e não existe para x>1.
Abraço a todos.
Ronaldo Luiz Alonso
Claudio Gustavo wrote:
> Desculpe, pois não fui claro na minha solução. Na verdade não é a
> função f(x) que é decrescente, mas sim a função representada por
> n^(1/n) que é decrescente para o n maior que 3 (vai tender para 1).
> Quanto a como eu cheguei nesse n^(1/n), foi considerando o caso geral,
> para imagens naturais, com f(x)=n. Se vc aplicar logarítmo e isolar o
> x encontrará exatamente isso. Daí eu concluí que, como a função f(x)
> é crescente (acho que isso já é o suficiente para vermos que ele é
> injetiva, pois será monótona), para uma abscissa maior obtemos uma
> imagem maior. Logo a maior imagem possível (considerando apenas entre
> as imagens naturais) é para a abscissa 3^(1/3), que obtemos imagem 3.
> Logo essa função nunca atingirá a imagem 4. Acho que agora fui mais
> claro nas explicitações. Abraço,Claudio Gustavo.
>
> Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> Ola Claudio,
> acredito que sua solucao esteja errada.. veja:
>
> f_n(x) = x^x^x^...^x [n vezes]
>
> para x > 1...
> x^x > x ... f_2(x) > f_1(x)
> x^(x^x) > x^x ... f_3(x) > f_2(x)
> :
> f_{n+1}(x) > f_n{x}
> assim, a funcao é crescente com n para x>1
> ela tbem é ilimitada.. deste modo, f_n(x) diverge para x >
> 1..
> portanto, lim n->inf f_n(x) nao existe para x > 1...
>
> para x = 1, f_n(x) = 1, para todo n
>
> para 0 < x < 1, f_{n+1}(x) < f_n(x) ... e f_n(x) > 0.. a
> funcao é
> decrescente e limitada.. logo converge.. entao, lim n->inf
> f_n(x)
> existe...
> como f_1(x) = x < 1, a funcao nao tem como imagem nenhum
> valor maior que 1...
>
> na sua solucao, nao entendi como vc concluiu que a funcao eh
>
> decrescente para x>3 .. pois: 4 > 3 ... 4^4 > 3^3 ...
> 4^(4^4) >
> 3^(3^3).. e assim por diante...
>
> nao consegui ver como vc mostrou que a^(1/a) é solucao de
> lim n->inf
> f_n(x) = a..
> intuitivamente parece correto, porem, qdo as coisas tendem
> para o
> infinito elas nao se comportam exatamente como no caso
> finito.. [temos
> as series para mostrar isso.. um caso tipico que foge do
> intuitivo é a
> serie telescopica com lim a_n diferente de 0]
>
> tambem nao achei trivial mostrar que lim n->inf f_n(x) é
> injetiva...
>
> abracos,
> Salhab
>
>
> On 5/26/07, Claudio Gustavo wrote:
> > Chamei de função potencial (não sei se posso chamá-la
> assim, mas fiz...)
> > de x a função x^x^x^x^x^...(x elevado a x elevado a x
> elevado a x ...).
> > Como posso demonstrar que, sendo essa a f(x), a função não
> pode ter como
> > imagens 2 e 4? Pois para as duas imagens encontramos x =
> 2^(1/2), mas daí
> > concluímos que 2 = 4!!!
> > Vou colocar a minha solução. Mas gostaria de saber se
> existem outras
> > considerações e se o que pensei está correto.
> > Primeiro, pode-se demonstrar que a função é injetiva
> (fazendo f(a)=f(b),
> > então a=b) e crescente (fazendo f(x+1) maior que f(x)),
> para o intervalo de
> > x positivo e maior que 1, que é o caso, logo é monótona
> crescente para o
> > intervalo considerado. Considerando apenas as imagens
> naturais, ou seja,
> > f(x)=n, encontramos como solução geral x = n^(1/n).
> Sabe-se que essa função
> > é crescente até n = 3 e, a partir daí, ela é decrescente e
> com limite 1
> > (logo obedece a condição de x positivo e maior que 1).
> Como a função f(x) no
> > dado intervalo é monótona crescente, para uma abscissa
> maior teremos uma
> > imagem maior. Portanto a maior imagem possível, para
> valores naturais, é
> > para quando x = 3^(1/3), logo f(3^(1/3)) = 3. Então a
> função nunca atingirá
> > a imagem igual a 4.
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