Oi Carlos, Vejamos o seguinte Seja N o número que, na base 10, tem representação, a_n a_(n-1).....a_0 e seja P o polinomio dadao por P(x) = a_n x^n + a_(n-1)x^(n-1).......+ a_0. Temos, entao, que N = P(10). Sendo 0 < k < 10 um inteiro, então o teorema de Taylor, particularizado para polinômios, nos mostra que k|N se, e somente se, k | P(10 - k). No caso, k = 7 e nosso polinômio tem os 99 primeiros coeficientes iguais a 9 e o das unidades igual a 6. Como este numero e 3^100 - 4, que vimos ser divisivel por 7, segue-se que P(3) é divisível por 7. E temos que P(3) = 9 *3^99 + 9 * 3^98.....+ 9 * 3 + 6 = 9 (3^100 - 3)/2 + 6 = (9 *3^100 - 27 + 12)/2 = (9 *3^100 - 15)/2 = (3(3^101 - 5)/2. Logo, este número é divisível por 7. Pode ser cultura um tanto inútil, mas achei isso legal. Artur
-----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 22:28 Para: [email protected] Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade II Oi, Arthur, De fato 3^101 - 5 é divisível por 7 mas não consegui enxergar a relação deste fato com a dica que eu havia dado para o Francisco? Pode me explicar melhor ? Só consegui ver que 7 divide 3^101 - 5 usando aritmética modular. Acho que você sacou alguma coisa que eu não ví... Abração, Nehab PS: O que fiz: 3^6 = 729 = 1 (mod 7) ---> 3^96 = 1^16 = 1 (mod 7); mas 3^5 = 243 = 5 (mod 7); então 3^101 = 5 (mod 7). At 18:03 15/8/2007, you wrote: E como decorrencia disto, segue-se que (3 (3^101 - 5))/2 eh divisivel por 7. Certo? Artur -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [ <mailto:[EMAIL PROTECTED]> mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 17:14 Para: [email protected] Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade Oi, Francisco, O correto é 10^100 - 4 e não 10^100 - 6. Tipicamente estes exercícios devem ser resolvidos usando "módulo". Mas este, em especial, dá pra fazer até diretamente... Solução 1) Note que o 10^100 - 4 é um monte de noves (ou seja, 99 noves) terminando com um 6, correto? Mas cada grupo de seis noves (999999) é divisível por 7 dando 142857. Após os 96 primeiros algarimos (do dividendo) você terá obtido no quociente 16 vezes a seqüência 142857 e sobrariam os algarismos 9996 para terminar a divisão. Mas 9996 é divisível por 7 dando 1428. Solução 2) Note a seguinte propriedade (pode prová-la: é um exercício simples e elegante): Seja N = (Mr), ou seja, os algarismos iniciais de N compõem o número M e seu último algarismo (de N) é r. Então N é divisívível por 7 sss M - 2r é divisível por 7. Usando esta propriedade também dá para resolver seu problema (tente). Abraços, Nehab PS: Deixo a solução por "módulo" para os demais colegas. Abraços, Nehab At 15:39 15/8/2007, you wrote: Como mostro que 7 | (10^100 - 6) ? Grato. _____ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Cadastre-se <http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br> já!
