Oi, Artur
Seja N o número que, na base 10, tem representação, a_n
a_(n-1).....a_0 e seja P o polinomio dadao por P(x) = a_n x^n +
a_(n-1)x^(n-1).......+ a_0. Temos, entao, que N = P(10).
Ok
Sendo 0 < k < 10 um inteiro, então o teorema de Taylor,
particularizado para polinômios, nos mostra que k|N se, e somente
se, k | P(10 - k).
Você se refere à série de Taylor? Não entendi o porque da série de
Taylor justificar k | N sss k | P(10-k) (se for óbvio, não tô "vendo"...:-)
Que isto é verdade eu concordo, pois a diferença entre P(10) e
P(10-k) é uma "combinação linear inteira" de expressões 10^p -
(10-k)^p que obviamente são divisíveis por k, pois a^p - b^p tem
fator a-b = k).
No caso, k = 7 e nosso polinômio tem os 99 primeiros coeficientes
iguais a 9 e o das unidades igual a 6. Como este numero e 3^100 - 4, ...
Você quis dizer 10^100 - 4, certamente.
que vimos ser divisivel por 7, segue-se que P(3) é divisível por 7.
E temos que P(3) = 9 *3^99 + 9 * 3^98.....+ 9 * 3 + 6 =o 9 (3^100 -
3)/2 + 6 = (9 *3^100 - 27 + 12)/2 = (9 *3^100 - 15)/2 = (3(3^101
- 5)/2. Logo, este número é divisível por 7. Pode ser cultura um
tanto inútil, mas achei isso legal.
Também achei legal. Apenas realmente não entendi como você enxergou
sua afirmativa pensando na série de Taylor.
Obrigado pelas dicas
Abração,
Nehab
Artur
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab
Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 22:28
Para: [email protected]
Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade II
Oi, Arthur,
De fato 3^101 - 5 é divisível por 7 mas não consegui enxergar a
relação deste fato com a dica que eu havia dado para o
Francisco? Pode me explicar melhor ?
Só consegui ver que 7 divide 3^101 - 5 usando aritmética
modular. Acho que você sacou alguma coisa que eu não ví...
Abração,
Nehab
PS:
O que fiz: 3^6 = 729 = 1 (mod 7) ---> 3^96 = 1^16 = 1 (mod 7);
mas 3^5 = 243 = 5 (mod 7); então 3^101 = 5 (mod 7).
At 18:03 15/8/2007, you wrote:
E como decorrencia disto, segue-se que (3 (3^101 - 5))/2 eh
divisivel por 7. Certo?
Artur
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [
mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab
Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 17:14
Para: [email protected]
Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade
Oi, Francisco,
O correto é 10^100 - 4 e não 10^100 - 6.
Tipicamente estes exercícios devem ser resolvidos usando
"módulo". Mas este, em especial, dá pra fazer até diretamente...
Solução 1)
Note que o 10^100 - 4 é um monte de noves (ou seja, 99 noves)
terminando com um 6, correto?
Mas cada grupo de seis noves (999999) é divisível por 7 dando
142857. Após os 96 primeiros algarimos (do dividendo) você terá
obtido no quociente 16 vezes a seqüência 142857 e sobrariam os
algarismos 9996 para terminar a divisão.
Mas 9996 é divisível por 7 dando 1428.
Solução 2)
Note a seguinte propriedade (pode prová-la: é um exercício simples
e elegante):
Seja N = (Mr), ou seja, os algarismos iniciais de N compõem o
número M e seu último algarismo (de N) é r.
Então N é divisívível por 7 sss M - 2r é divisível por 7.
Usando esta propriedade também dá para resolver seu problema (tente).
Abraços,
Nehab
PS: Deixo a solução por "módulo" para os demais colegas.
Abraços,
Nehab
At 15:39 15/8/2007, you wrote:
Como mostro que 7 | (10^100 - 6) ?
Grato.
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