Olá, arkon. Achei duas soluções...
Solução 1 (roubada):
Como a nota dos alunos parece ser dada até a primeira casa decimal, a soma
das novas notas dos alunos reprovados tem de ser dada também até a primeira
casa decimal. Achamos a soma multiplicando a média pelo número de alunos.
Dessa forma, 6,88*a (a é o número de alunos reprovados) tem de ir apenas até
a segunda casa decimal, com 'a' variando entre 0 e 8, excluindo os extremos
(o ou 8). Nossa incógnita (a) só pode valer 5.
Logo, são 5 alunos reprovados e 15 aprovados.
Solução 2 (trabalhosa, porém mais organizada)
x_k detona a nota do aluno k. São 20 alunos, dos quais, após a mudança das
notas, n migraram do grupo dos reprovados para o grupo dos aprovados.
Calculamos a nova média somando as notas dos X alunos que seriam aprovados
com a mudança, dividindo o resultado por X e somando a ele 0,5. Entendido
isso, podemos escrever:
A segunda média dos reprovados = 6,88 = (x_1+...+x_k)/(8-n) + 0,5
A segunda média dos aprovados = 8 = (x_(k+1)+...+x_20)/(12+n) + 0,5
Note que x_k representa a nota antiga do aluno k. Estou somando o 0,5 depois
e incluindo o aluno antigo cuja nota era anteriormente menor do que 7, mas
suficientemente grande para ser aprovado após a mudança, no grupo dos novos
aprovados.
Logo,
[I] (6,88-0,5)*(8-n) = x_1+...+x_k
[II] (8-0,5)*(12+n) = x_(k+1)+...+x_20
Somando, I+II = (6,88-0,5)*(8-n) + (8-0,5)*(12+n) = [x_1+...+x_k] +
[x_(k+1)+...+x_20]
Então, (6,88-0,5)*(8-n) + (8-0,5)*(12+n) = soma das notas antigas.
Em relação às notas antigas, eram 8 alunos com média 6,5 e 12 alunos com
média 7,7. Teremos:
(6,88-0,5)*(8-n) + (8-0,5)*(12+n) = 8*6,5 + 12*7,7. Fazendo um bando de
contas...
n(7,5-6,38) + 8*6,38 + 12*7,5 = 8*6,5 + 12*7,7 .:. n(1,12) = 3,36.
Olha que emocionante... deu certinho. n = 3,36/1,12 = 3. No fim, 15 alunios
foram aprovados.
Problema:
"Numa sala composta por 20 alunos, 8 alunos foram reprovados pois a nota
mínima para ser aprovado é 7. A média dos reprovados foi 6,5 enquanto a dos
aprovados foi 7,7. O professor considerou que uma questão foi mal formulada
e, portanto, acrescentou 0,5 na nota de todos os alunos. Assim, a média dos
aprovados e dos reprovados passou a ser 8 e 6,88, respectivamente. Calcular
o número de alunos que conseguiram se aprovar após o acréscimo de 0,5 em
suas notas."
Abraços,
Pedro Lazéra Cardoso
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