Oi, O problema 3 tem uma solução bem bonita (não é minha, eu vi não me lembro onde): imagine que há 100*101/2 = 5050 cordas, cada uma amarrando cada par de pedras. Então, para Esmeralda separar uma pilha de a+b pedras em uma pilha de a pedras e outra de b pedras, ela deve cortar ab cordas! Como no final devemos ter pedras soltas, devemos cortar todas as cordas, de modo que a soma pedida é igual à quantidade de cordas, que é 5050.
No problema 2, item a, suponha por absurdo que apareçam 2,0,0,4 nessa ordem. Então, voltando a seqüência obtemos 2,2,0,0,4; 6,2,2,0,0,4... e só obtemos números pares, absurdo, pois começamos com 1,2,3,4. O item b é mais interessante: a seqüência é periódica (assim como qualquer recursão linear homogênea). Para ver isso, use casa dos pombos: considere todas as 10^4 quádruplas (a,b,c,d) de algarismos. Agora pense nas quádruplas (x,y,z,w) de quatro termos consecutivos da seqüência dada. Após pelo menos 10^4 + 1 termos, alguma quádrupla (x,y,z,w) vai se repetir, e a seqüência vai "ciclar" a partir daÃ. Infelizmente, (x,y,z,w) não é necessariamente (1,2,3,4). O que fazer então? Considere o começo da seqüência mais uma quantidade grande de ciclos (o suficiente para que seja o dobro do tamanho do começo da seqüência sem ciclos). Se você voltar a seqüência (assim como no item a) de dois pontos diferentes, o fim do primeiro ciclo e o fim do pedaço considerado da seqüência, vai obter os mesmos dÃgitos. Entre eles, vai aparecer 1,2,3,4 no começo se voltar do primeiro ponto e a mesma coisa, 1,2,3,4, se voltar do segundo ponto. Assim, 1,2,3,4 aparece de novo na seqüência. []'s Shine --- Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Olá Barola, > > ainda estou tentando resolver.. mas não consegui... > achei a questão MUITO interessante... > e espero que o item B seja falso.. é um indicio de > que a sequencia nao eh > periodica.. > resta sabermos se ela nao fica periodica apos um > tempo... por exemplo: > aparecendo um segundo 9, 4, 8, 7.. entende? > entao, poderiamos utiliza-la, por exemplo, para a > geracao de numeros > aleatorios... > uma outra questao interessante é: qual a > distribuicao de probabilidades > dessa sequencia? > como a sequencia esta limitada entre 0 e 9, se > contarmos qtos 0 > aparecerem... dps qtos 1 aparecem.. e > assim por diante... e fizermos n->inf, essas > quantidades seriam iguais?! > > estou tentando.. se eu conseguir mando alguma > coisa.. > mas estou realmente "sem ideias"... > > junto contigo, fico no aguardo da solucao de alguem > da lista! > > abraços, > Salhab > > > > > On 10/24/07, [EMAIL PROTECTED] < > [EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > Oi gente! Alguém pode resolver estas? São da 3ª > fase da OBM, mas pelo > > visto o site não disponibiliza o gabarito. > > > > > > > > *PROBLEMA 2* > > > > A seqüência de algarismos > > > > 1, 2, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4, 8, 7, Â… > > > > > > > > é construÃda da seguinte maneira: cada elemento, a > partir do quinto, é > > igual ao último algarismo da soma dos quatro > anteriores. > > > > a) Os algarismos 2, 0, 0, 4, juntos e nesta ordem, > aparecem na seqüência? > > > > b) Os algarismos iniciais 1, 2, 3, 4, juntos e > nesta ordem, aparecem > > novamente na seqüência? > > > > > > > > > > > > *PROBLEMA 3* > > > > Esmeralda tem uma pilha com 100 pedras. Ela divide > essa pilha em duas novas pilhas e em seguida > multiplica as > > > > quantidades de pedras nessas duas novas pilhas e > escreve o produto em um quadro. Ela então escolhe > uma pilha > > > > com mais de uma pedra e repete esse procedimento: > a pilha é dividida em duas, as quantidades de pedras > nessas > > > > duas pilhas são multiplicadas e o produto escrito > no quadro. Esta operação é realizada até se obter > apenas pilhas > > > > com 1 pedra cada. Quais são os possÃveis valores > da soma de todos os produtos escritos no quadro? > > > > > > > > Desde já, agradeço. > > > > Bárbaral Nedel. > > > > > __________________________________________________ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================