corrigindo produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) )
escrevi uma coisa errada era * em vez de =, assim produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) * ( somatorio[k=0 até n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) ) vou postar então o que já pensei sobre esse produtorio notações prod[a,b] f(k)= produtório de f(k) com k variando de "a" até "b" no caso o produtório pedido foi prod[1,n] (1+k²) , se colocarmos k=0, temos 1+0², que não altera nada no produtorio por 1 ser elemento neutro, podemos então escrever prod[0,n] (1+k²) , vou chamar esse produtorio de f(n) vimos a recorrencia que ele gera prod[0,n] (1+k²) =prod[0,n-1] (1+k²) * (1+n²), implicando f(n)=f(n-1)*(1+n²), fazendo n+1 em vez de n temos f(n+1)=f(n)*(1+(n+1)²), todos termos são diferentes de zero , então podemos tomar f(n+1)/f(n)=(1+(n+1)³), chamarei f(n+1)/f(n) de Qf(n) procuramos então uma função que aplicada o operador Q de (1+(n+1)³) , que eu não conheço a priori (=P), se conhecer o problema "morre" mas chegamos em=Qf(n)= f(n+1)/f(n)=(1+(n+1)²) porém podemos fazer o seguinte seja Df(n)=f(n+1)-f(n), então f(n+1)/f(n)=a^ D log f(n)_(a), pois (seja sempre o log na base a) f(n+1)/f(n)=a^log f(n+1) - log f(n)=a ^log f(n+1) . a^-log f(n)==f(n+1)*f(n)^(-1)=f(n+1)/f(n) logo Qf(n)=a^D log f(n) com isso temos a^D log f(n)=(1+(n+1)³), implicando D log f(n)= log (1+ (n+1)²) seja somatorio de k=0 até n-1 escrito como soma [0, n-1], pode se mostrar que soma [0,n-1] Df(k)= f(n)-f(0), usando isso na igualdade de logaritmo acima temos soma[0, n-1]D log f(k)= log f(n)-log f(0 ), porém como f(n) é o produtorio e como vimos que ele aplicado em zero, dá 1, temos f(0)=1 e log 1=0, então a expressão fica como log f(n)=soma[0, n-1]log (1+ (k+1)²) tirando o log do primeiro membro, ficamos com f(n)=a^soma[0, n-1]log (1+ (k+1)²) continua Em 29/11/07, albert richerd carnier guedes<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Rodrigo Renji escreveu: > > Cheguei em outro resultado "doido" pra esse produto, mas nem sei se esta > > certo > > > > > produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até > > n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) ) > > > onde s(n,k) são numeros de stirling do primeiro tipo com sinal |s(n,k)| > > sendo o módulo desses números, i o número complexo. > > > > A conclusão partiu de (1+k²)=(k+i)(k-i) depois separar o produtorio em dois, > > depois usar a propriedade do produtorio que resultou poder ser escrito > > como somas de potencias com coeficientes em números de stirling, nada > > simples eu acho > > > > abraços > > > > Em 28/11/07, albert richerd carnier guedes<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > >> Rodrigo Cientista escreveu: > >> Caro Nehab, > >> > > > > uma dúvida: os termos, individualmente, me parecem ser > > > >> negativos, certo? (à exceção do primeoro que é=0), sendo assim, > >> calcularíamos o fatorial de números negativos? exite isso? se sim, fatorial > >> de número par seria positivo, e de número ímpar seria negativo, os mais > >> geralmente, -N! = (-1)^N * > >> N! > >> > > > > *************************************************************************************************** > > > > Carlos > > > >> Nehab > >> > > Tue, 27 Nov 2007 01:45:00 -0800 > > Oi, Albert (e Ponce) > > Faltou aplicar o > > > >> fatorial em cada parcela do produtório... > >> > > Nehab > > > > ----- Mensagem original > > > >> ---- > >> > > De: Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> > > Para: > > > >> [email protected] > >> > > Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007 > > > >> 3:36:56 > >> > > Assunto: Re: [obm-l] Produto finito > > > > Ola' Albert, > > voce deve ter se > > > >> enganado com alguma coisa no texto. > >> > > Do jeito que esta' , o produto e' sempre > > > >> zero. > >> > > > > []'s > > Rogerio Ponce > > > > > > > > Em 27/11/07, albert richerd carnier > > > >> guedes<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > >> > > > > > >> Olá. É a primeira vez que estou escrevendo para esta lista. > >> > > Alguém sabe qual > > > >> é o valor do produto finito > >> > > > > P = ( 1 - 1^2 )( 1 - 2^2 )( 1 -3^2 )... ( 1 - > > > >> N^2 )em função de N. > >> > > > > Eu sei que ele possue o valor entre (N+1)! e > > > >> (N+1)!N!. > >> > > > > Agradeço qualquer > > > >> sugestão. > >> > > ========================================================================= > > Instruções > > > >> para entrar na lista, sair da lista e usar a lista > >> em > >> > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > > >> ========================================================================= > >> > > Instruções > > > >> para entrar na lista, sair da lista e usar a lista > >> em > >> > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > > > > >> Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para > >> armazenamento! > >> > > http://br.mail.yahoo.com/ > > > > ========================================================================= > > Instruções > > > >> para entrar na lista, sair da lista e usar a lista > >> em > >> > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > > >> Só para não criar um buraco no assunto, a solução do produto > >> > >> P = ( 1 - 2^2 ).( 1 - 4^2 ).( 1 - 5^2 ) ... ( 1 - N^2 ) > >> > > > > sempre começa em > > > >> 2, pois se começar em 1 fica tudo 0. > >> > > > > Ele é bem mais fácil de achar. > > Se > > > >> tivermos a_n = ( 1 - n^2 ), podemos colocar na forma > >> > > > > a_n = ( 1 - n )( 1 + n > > > >> ) > >> > > > > e teremos o produto > > > > P = ... [( 1 - n ).( 1 + n )] ...[( 1 - N ).( 1 + N > > > >> )] > >> > > > > e isso dá para separar em dois produtos mais fáceis > > > > P_1 = ( 1 - 2 ) ... > > > >> ( 1 - n ) ... ( 1 - N ) = (-1)^{N-1}.(N-1)! > >> > > P_2 = ( 1 + 2 ) ... ( 1 + n ) > > > >> ... ( 1 + N ) = ( N + 1 )!/2 > >> > > > > E teremos > > > > P = P_1 . P_2 = (-1)^{N-1}.(N-1)!( > > > >> N +1 )!/2 > >> > > > > > > Pouca gente fala sobre produtos finitos, mas eu gosto muito > > > >> deles. > >> > > Não sei pra que servem, mas acho muito legais. > > > > > >> ========================================================================= > >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > >> ========================================================================= > >> > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > > > Então sem querer eu ressucitei os números de Stirling. :) > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
