[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá,
Gostaria de saber se alguém conhece algum problema como exemplo em que
se prova ser impossível a uma certa série possuir uma fórmula fechada,
ou de recorrência.
Exemplo: eu estava tentando achar uma fórmula de recorrência para um
produto que o colega Albert colocou aqui na lista:
P = (1 + 1^2)(1 + 2^2)(1 + 3^2)...(1 + n^2)
E imaginei que se caso este produto não possua uma fórmula fechada eu
poderia prová-lo, ao invés de continuar com as tentativas de achar a
fórmula.
Belo ponto de vista Rodrigo.
E se formos verificar, todo produto finito se reduz a uma somatória de
logaritmos
ln( Prod^N_{n=0} a_n ) = Sum^N_{n=0} ln(a_n)
Se der pra provar que esta soma tem fórmula fechada, então dá pra provar
que o produto tambêm têm.
Como
ln(a_n) = 2. Sum^Infty_{k=0} [ 1/( 2k+1 ) ][ ( a_n - 1 )/( a_n + 1 )
]^{2k+1}
Assim fica o problema de resolver a soma
b_k = Sum^N_{n=0} [ 1/( 2k+1 ) ][ ( a_n - 1 )/( a_n + 1 ) ]^{2k+1}
e depois a soma
S = 2. Sum^Infty_{k=0} b_k
Não sei se trocar um problema por dois resolve, mas acho que somatóriass
são mais tratáveis do que produtos.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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