è verdade Albert,
Somatórias são mais tratáveis, na verdade eu posso realizar a multiplicação
e notar que os diversos fatores formam certos padrões de soma, mas sem
sucesso em expor que padrões são esses numa fórmula fechada.
Para n = 4, por exemplo, notei que P = 2 + (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2)^2 +
2*(4!)^2 - (1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4), o que falha para n> 4... por ter
encontrado tal fórmula, talvez tenha me passado algum detalhe despercebido
que alguém da lista possa completar.
quanto aos logaritmos, log (ab) = log a + log b, mas log (abc) = log a + log
b + log c? ou mais geralmente, log (abc...n) = log a + log b + log c +...+
log n?
----- Original Message -----
From: "albert richerd carnier guedes" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[email protected]>
Sent: Tuesday, December 11, 2007 11:17 PM
Subject: Re: [obm-l] prova de impossibilidade
[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá,
Gostaria de saber se alguém conhece algum problema como exemplo em que
se prova ser impossível a uma certa série possuir uma fórmula fechada, ou
de recorrência.
Exemplo: eu estava tentando achar uma fórmula de recorrência para um
produto que o colega Albert colocou aqui na lista:
P = (1 + 1^2)(1 + 2^2)(1 + 3^2)...(1 + n^2)
E imaginei que se caso este produto não possua uma fórmula fechada eu
poderia prová-lo, ao invés de continuar com as tentativas de achar a
fórmula.
Belo ponto de vista Rodrigo.
E se formos verificar, todo produto finito se reduz a uma somatória de
logaritmos
ln( Prod^N_{n=0} a_n ) = Sum^N_{n=0} ln(a_n)
Se der pra provar que esta soma tem fórmula fechada, então dá pra provar
que o produto tambêm têm.
Como
ln(a_n) = 2. Sum^Infty_{k=0} [ 1/( 2k+1 ) ][ ( a_n - 1 )/( a_n +
) ]^{2k+1}
Assim fica o problema de resolver a soma
b_k = Sum^N_{n=0} [ 1/( 2k+1 ) ][ ( a_n - 1 )/( a_n + 1 ) ]^{2k+1}
e depois a soma
S = 2. Sum^Infty_{k=0} b_k
Não sei se trocar um problema por dois resolve, mas acho que somatóriass
são mais tratáveis do que produtos.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================
