A fim de mostrar a validade de tal afirmação, simbolizaremos pela
letra C a circunferência, pela letra O o seu centro e pela letra R o seu raio.
1º caso: a corda passa pelo centro
Sejam A e B as extremidades da corda. Já que os segmentos AO e BO são
congruentes (pois possuem o mesmo comprimento R) e os pontos
A, O e B são colineares, O é o ponto médio da corda (diâmetro) AB.
Consecutivamente, a reta perpendicular ao segmento AB conduzida por seu
ponto médio passa pelo centro O de C.
2° caso: a corda não passa pelo centro
Nesse caso, a reunião dos segmentos determinados pelos pontos A, O e
B corresponde a um triângulo. Haja visto que AO = OB, AM = MB e OM
é comum aos dois triângulos AOM e BOM, em que M é o ponto médio da
corda AB, conclui-se pelo critério de congruência de triângulos LLL que
o polígono AOM é congruente ao polígono BOM.
Dessa congruência, decorre que os ângulos AMO e BMO são congruentes.
Porém eles também são suplementares e adjacentes. Por definição,
os ângulos AMO e BMO são retos. Assim, a reta OM é a mediatriz da
corda AB, pois OM é perpendicular ao segmento AB e passa pelo seu ponto
médio. Tendo em vista que a mediatriz de um segmento existe e é única
(na geometria plana), concluímos, enfim, que a proposição da questão
cinco é verdadeira.
Date: Fri, 21 Dec 2007 20:31:59 -0300
From: [EMAIL PROTECTED]
Subject: RE: [obm-l] Geometria .
To: [email protected]
obrigado ,Muito boa suas soluções. Na 5 o Iezzi da a seguinte dica
: Usando o caso de congruencia LLL pode se provar a propriedade como seria
essa prova ?
Tales Prates Correia <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
4 - A afirmação propõe um novo caso de congruência, a saber, o caso
"lado-lado-ângulo". Usando a figura fornecida, é possível mostrar porque
esse critério não é válido: segundo esse novo caso, os triângulos ROP
e QOP deveriam ser congruentes, porém
isto é uma inverdade, uma vez
que o teorema do angulo externo aplicado ao triângulo QOR nos permite
afirmar que o ângulo PQO é maior do que PRO.
5 - Por definição, uma corda de uma circunferência é um segmento de
reta cujas extremidades pertencem a essa circunferência. A mediatriz de
um segmento de reta é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes das
extremidades desse segmento. Ora, uma vez que as extremidades da
corda pertencem à circunferência, as distâncias desses pontos ao
centro desta são iguais e congruentes ao raio. Por conseguinte, a mediatriz
"passará" pelo centro da
circunferência.
Q.E.D.
6 - Todas as afirmações são
verdadeiras.
Item a: Propriedade fundamental dos paralelogramos que decorre do
teorema angular de Tales.
Item b: Por definição, um losango é um quadrilátero plano convexo
cujos quatro lados são congruentes entre si. Usando essa definição e a
propriedade característica dos paralelogramos referida no item
anterior, pode-se demonstrar essa afirmação.
Item c: Propriedade dos retângulos que pode ser demonstrada usando a
definição dessa figura geométrica e as propriedade dos paralelogramos,
uma vez que todo retângulo é um paralelogramo (fato também
justificável).
Item d: Propriedade decorrente da definição de
losango e das propriedades do paralelogramo, já que esta figura geométrica
também um
paralelogramo.
Item e: A veracidade dessa afirmação decorre da definição de losango
e do seguinte teorema: Todo losango é um paralelogramo.
Date: Thu, 20 Dec 2007 18:26:46 -0300
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Subject: [obm-l] Geometria .
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