Artur, em 28 de março de 2006, eu resolvi um probleminha aqui que fazia isso que você quer. Abaixo segue a mensagem:
[obm-l] Dúvida Diego Alex <[EMAIL PROTECTED]> 26 de março de 2006 18:49 Responder a: [email protected] Para: [email protected] Se alguém puder me ajudar fico grato... Se a+b+c=0 e a²+b²+c²=1, calcule A= a^4 + b^4 + c^4 Diego ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html [obm-l] Dúvida Júnior <[EMAIL PROTECTED]> 28 de março de 2006 11:46 Para: [email protected] a+b+c=0 (I) a^2+b^2+c^2=1 (II) a^4+b^4+c^4=? De (I) e (II) tiramos que: (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc) ==> (ab+ac+bc)=-1/2. Dados tres numeros reais, existe um polinomio do 3º grau tal que esses tres numeros sejam raizes. Apartir disso escrevo: x^3 -t_1(x^2)+t_2(x^2)-(t_3)(p)=0 Girard: a+b+c=-(-t_1) ab+bc+ac=(t_2)=-1/2 abc=-(-t_3) S_n: soma das n-esimas potencias. (S_n+3) -(t_1)(S_n+2)+(t_2)(S_n+1)-(t_3)(S_n)=0 Fazendo n=1 vem: S_4 + 0 -1/2 -0 = 0 S_4 = 1/2. Omiti algumas continhas, pois ja estava ficando muito extenso. Júnior. Aldo Munhoz <[EMAIL PROTECTED]> 28 de março de 2006 16:22 Responder a: [email protected] Para: [email protected] Júnior, Eu notei que (S_n+3) -(t_1)(S_n+2)+(t_2)(S_n+1)-(t_3)(S_n)=0 é realmente uma expressão válida. Mas de onde vem isto? Existe alguma expressão com mais termos? Abraços, Aldo [Texto das mensagens anteriores oculto] Aldo Munhoz <[EMAIL PROTECTED]> 28 de março de 2006 18:17 Responder a: [email protected] Para: [email protected] (1) a^4 + b^4 + c^4 = (a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2) (2) a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 = (ab + bc + ac)^2 - 2abc(a + b + c) (3) ab + bc + ac = [(a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)]/2 Substituindo (2) e (3) em (1): (4) a^4 + b^4 + c^4 = (a^2 + b^2 + c^2)^2 - [(a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)]^2/2 + 4abc(a + b + c) usando o fato de que a + b + c = 0 e a^2 + b^2 + c^2 = 1 em (4): a^4 + b^4 + c^4 = 1/2 [obm-l] Dúvida Júnior <[EMAIL PROTECTED]> 28 de março de 2006 18:44 Para: [email protected] Aldo, você pode chegar nessa expressão simplesmente fazendo uso da definição de raiz. Isto é Se x_n é raiz de um polinomio de grau n entao P(x_n)=0. Entao proceda assim: (x_1)^{n} + b(x_1)^{n-1} + c(x_1)^{n-2} + ... + z =0 (x_2)^{n} + b(x_2)^{n-1} + c(x_2)^{n-2} + ... + z =0 ... ... ... (x_n)^{n} + b(x_n)^{n-1} + c(x_n)^{n-2} + ... + z =0 Somando membro a membro tem a expressão. Acho que gostou da minha solução.. Júnior. Aldo Munhoz <[EMAIL PROTECTED]> 28 de março de 2006 19:48 Responder a: [email protected] Para: [email protected] Bom, mas o polinômio que você tinha lá era: x^3 -t_1(x^2)+t_2(x)-(t_3)(p)=0 Como você pode ter chegado a esta expressão a partir do polinômio acima? (S_n+3) -(t_1)(S_n+2)+(t_2)(S_n+1)-(t_3)(S_n)=0 Como a, b e c são raízes do polinômio mencionado, o que você obtém é: a^3 -t_1(a^2)+t_2(a)-(t_3)=0 b^3 -t_1(b^2)+t_2(b)-(t_3)=0 c^3 -t_1(c^2)+t_2(c)-(t_3)=0 Somando termo a termo (a^3+b^3+c^3)-t_1(a^2+b^2+c^2)+t_2(a+b+c)-3t_3=0 Por isso que perguntei. Não entendi ainda de onde veio tal expressão. (S_n+3) -(t_1)(S_n+2)+(t_2)(S_n+1)-(t_3)(S_n)=0 Abraços, Aldo [obm-l] Dúvida Júnior <[EMAIL PROTECTED]> 28 de março de 2006 21:30 Para: [email protected] Basta voce multiplicar o polinomio por x, que significa colocar o zero também como raiz. Júnior. Em 12/02/08, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Se q é um inteiro positivo, existe alguma forma relativamente fácil de se > determinar a soma das potências q das raízes de um polinômio? Algo, por > exemplo, baseado nas reações de Girard? > > Obrigado > Artur >
